Algebra Beispiele

$x = h + r \cos (t)$ , $y = k + r \sin (t)$

Schritt 1

Stelle die Parameterform für $x (t)$ auf, um die Gleichung nach $t$ aufzulösen.

$x = h + r \cos (t)$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $h + r \cos (t) = x$ um.

$h + r \cos (t) = x$

Schritt 3

Subtrahiere $h$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r \cos (t) = x - h$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $r \cos (t) = x - h$ durch $r$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $r \cos (t) = x - h$ durch $r$ .

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $\cos (t)$ durch $1$ .

$\cos (t) = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (t) = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$

Schritt 5

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$t = \arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$

Schritt 6

Ersetze $t$ in der Gleichung durch $y$ , um die Gleichung bezogen auf $x$ zu erhalten.

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

Schritt 7

Entferne die Klammern.

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

Schritt 8

Vereinfache $k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ , $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ $\sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$ .

$y = k + r \sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

Schritt 8.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = k + r \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

Schritt 8.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))}$

Schritt 8.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} - - \frac{h}{r})}$

Schritt 8.1.4.2

Multipliziere $- - \frac{h}{r}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + 1 \frac{h}{r})}$

Schritt 8.1.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{h}{r}$ mit $1$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Schritt 8.1.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r}{r} + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Schritt 8.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r + x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Schritt 8.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = k + r \sqrt{\frac{r + x - h}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Schritt 8.1.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.8.1

Bewege $x$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{r - h + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Schritt 8.1.8.2

Stelle $r$ und $- h$ um.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Schritt 8.1.9

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r}{r} - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Schritt 8.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r - x}{r} + \frac{h}{r})}$

Schritt 8.1.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r - x + h}{r}}$

Schritt 8.1.12

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.12.1

Bewege $- x$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r + h - x}{r}}$

Schritt 8.1.12.2

Stelle $r$ und $h$ um.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{h + r - x}{r}}$

Schritt 8.1.13

Mutltipliziere $\frac{- h + r + x}{r}$ mit $\frac{h + r - x}{r}$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r \cdot r}}$

Schritt 8.1.14

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}}$

Schritt 8.1.15

Schreibe $\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}$ als ${(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.15.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(- h + r + x) (h + r - x)$ heraus.

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2}}}$

Schritt 8.1.15.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $r^{2}$ aus $r^{2}$ heraus.

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}}$

Schritt 8.1.15.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}$ um.

$y = k + r \sqrt{{(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}$

Schritt 8.1.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = k + r (\frac{1}{r} \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)})$

Schritt 8.1.17

Kombiniere $\frac{1}{r}$ und $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ .

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

Schritt 8.1.18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.18.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

Schritt 8.1.18.2

Forme den Ausdruck um.

$y = k + \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$

Schritt 8.2

Stelle $k$ und $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ um.

$y = \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)} + k$