Algebra Beispiele

$\cot (- \frac{5 π}{12})$

Schritt 1

Ersetze $\cot (- \frac{5 π}{12})$ durch einen äquivalenten Ausdruck $\frac{1}{\tan (- \frac{5 π}{12})}$ unter Verwendung der fundamentalen Identitätsgleichungen.

$\frac{1}{\tan (- \frac{5 π}{12})}$

Schritt 2

Wende eine Summen- oder Differenzformel auf den Nenner an.

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Schritt 2.1

Teile den Winkel zunächst in zwei Winkel auf, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. In diesem Fall kann $- \frac{5 π}{12}$ in $\frac{π}{3} - \frac{3 π}{4}$ aufgeteilt werden.

$\frac{1}{\tan (\frac{π}{3} - \frac{3 π}{4})}$

Schritt 2.2

Wende die Differenzformel für den Tangens an, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{3 π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Schritt 2.3

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{3 π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} - \tan (\frac{3 π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Schritt 2.4.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Schritt 2.4.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} - (- 1 \cdot 1)}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Schritt 2.4.4

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Schritt 2.5.2

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} (- \tan (\frac{π}{4}))}}$

Schritt 2.5.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} (- 1 \cdot 1)}}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot - 1}}$

Schritt 2.5.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}}}$

Schritt 2.5.6

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}}$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}}$

Schritt 2.7.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{1}{\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache.

$\frac{1}{\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.8.2

Potenziere $1 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.8.3

Potenziere $1 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}}$

Schritt 2.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}}$

Schritt 2.9

Schreibe ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ um.

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.10

Multipliziere $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.11.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.11.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}}$

Schritt 2.11.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}}$

Schritt 2.11.1.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}}$

Schritt 2.11.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}}$

Schritt 2.11.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{1}{\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.11.3

Addiere $\sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 + 2 \sqrt{3}$ und $- 2$ .

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Schritt 2.12.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.12.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.12.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.12.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})}$

Schritt 2.13

Schreibe $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ als $- (2 + \sqrt{3})$ um.

$\frac{1}{- (2 + \sqrt{3})}$

Schritt 2.14

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})}$

Schritt 3.3

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{1}$

Schritt 3.5

Dividiere $- 2 + \sqrt{3}$ durch $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 2 + \sqrt{3}$

Dezimalform:

$- 0.26794919 \dots$