Algebra Beispiele

$4 x^{4} + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$4 {(\frac{1}{4})}^{4} + 3 {(\frac{1}{4})}^{3} - 9 {(\frac{1}{4})}^{2} - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = \frac{1}{4}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$4 \frac{1^{4}}{4^{4}} + 3 {(\frac{1}{4})}^{3} - 9 {(\frac{1}{4})}^{2} - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \frac{1}{4^{4}} + 3 {(\frac{1}{4})}^{3} - 9 {(\frac{1}{4})}^{2} - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4.1.3

Potenziere $4$ mit $4$ .

$4 (\frac{1}{256}) + 3 {(\frac{1}{4})}^{3} - 9 {(\frac{1}{4})}^{2} - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $256$ heraus.

$4 \frac{1}{4 (64)} + 3 {(\frac{1}{4})}^{3} - 9 {(\frac{1}{4})}^{2} - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{1}{4 \cdot 64} + 3 {(\frac{1}{4})}^{3} - 9 {(\frac{1}{4})}^{2} - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{64} + 3 {(\frac{1}{4})}^{3} - 9 {(\frac{1}{4})}^{2} - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$\frac{1}{64} + 3 \frac{1^{3}}{4^{3}} - 9 {(\frac{1}{4})}^{2} - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{64} + 3 \frac{1}{4^{3}} - 9 {(\frac{1}{4})}^{2} - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4.1.7

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{64} + 3 (\frac{1}{64}) - 9 {(\frac{1}{4})}^{2} - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4.1.8

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{64}$ .

$\frac{1}{64} + \frac{3}{64} - 9 {(\frac{1}{4})}^{2} - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4.1.9

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$\frac{1}{64} + \frac{3}{64} - 9 \frac{1^{2}}{4^{2}} - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4.1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{64} + \frac{3}{64} - 9 \frac{1}{4^{2}} - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4.1.11

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{64} + \frac{3}{64} - 9 (\frac{1}{16}) - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4.1.12

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{64} + \frac{3}{64} + \frac{- 9}{16} - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{64} + \frac{3}{64} - \frac{9}{16} - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 4.1.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.14.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{64} + \frac{3}{64} - \frac{9}{16} + 2 (- 1) \frac{1}{4} + 1$

Schritt 4.1.14.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{64} + \frac{3}{64} - \frac{9}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + 1$

Schritt 4.1.14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{64} + \frac{3}{64} - \frac{9}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + 1$

Schritt 4.1.14.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{64} + \frac{3}{64} - \frac{9}{16} - 1 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.15

Schreibe $- 1 (\frac{1}{2})$ als $- (\frac{1}{2})$ um.

$\frac{1}{64} + \frac{3}{64} - \frac{9}{16} - \frac{1}{2} + 1$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{1 + 3}{64} + \frac{- 9}{16} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$1 + \frac{4}{64} + \frac{- 9}{16} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{4}{64} + \frac{- 9}{16} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{64}{64}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{64}{64} + \frac{4}{64} + \frac{- 9}{16} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{64}{64}$ .

$\frac{64}{64} + \frac{4}{64} + \frac{- 9}{16} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $\frac{- 9}{16}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{64}{64} + \frac{4}{64} + \frac{- 9}{16} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\frac{- 9}{16}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{64}{64} + \frac{4}{64} + \frac{- 9 \cdot 4}{16 \cdot 4} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $\frac{- 1}{2}$ mit $\frac{32}{32}$ .

$\frac{64}{64} + \frac{4}{64} + \frac{- 9 \cdot 4}{16 \cdot 4} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{32}{32}$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $\frac{- 1}{2}$ mit $\frac{32}{32}$ .

$\frac{64}{64} + \frac{4}{64} + \frac{- 9 \cdot 4}{16 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 32}{2 \cdot 32}$

Schritt 4.3.8

Stelle die Faktoren von $16 \cdot 4$ um.

$\frac{64}{64} + \frac{4}{64} + \frac{- 9 \cdot 4}{4 \cdot 16} + \frac{- 1 \cdot 32}{2 \cdot 32}$

Schritt 4.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$\frac{64}{64} + \frac{4}{64} + \frac{- 9 \cdot 4}{64} + \frac{- 1 \cdot 32}{2 \cdot 32}$

Schritt 4.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $32$ .

$\frac{64}{64} + \frac{4}{64} + \frac{- 9 \cdot 4}{64} + \frac{- 1 \cdot 32}{64}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{64 + 4 - 9 \cdot 4 - 1 \cdot 32}{64}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $4$ .

$\frac{64 + 4 - 36 - 1 \cdot 32}{64}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$\frac{64 + 4 - 36 - 32}{64}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $64$ und $4$ .

$\frac{68 - 36 - 32}{64}$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $36$ von $68$ .

$\frac{32 - 32}{64}$

Schritt 4.6.3

Subtrahiere $32$ von $32$ .

$\frac{0}{64}$

Schritt 4.6.4

Dividiere $0$ durch $64$ .

$0$

Schritt 5

Da $\frac{1}{4}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - \frac{1}{4}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{4} + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 1}{x - \frac{1}{4}}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{1}{4}$	$4$	$3$	$- 9$	$- 2$	$1$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{1}{4}$	$4$	$3$	$- 9$	$- 2$	$1$

	$4$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$\frac{1}{4}$	$4$	$3$	$- 9$	$- 2$	$1$
		$1$
	$4$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{4}$	$4$	$3$	$- 9$	$- 2$	$1$
		$1$
	$4$	$4$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 9)$ .

$\frac{1}{4}$	$4$	$3$	$- 9$	$- 2$	$1$
		$1$	$1$
	$4$	$4$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{4}$	$4$	$3$	$- 9$	$- 2$	$1$
		$1$	$1$
	$4$	$4$	$- 8$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 8)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 2)$ .

$\frac{1}{4}$	$4$	$3$	$- 9$	$- 2$	$1$
		$1$	$1$	$- 2$
	$4$	$4$	$- 8$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{4}$	$4$	$3$	$- 9$	$- 2$	$1$
		$1$	$1$	$- 2$
	$4$	$4$	$- 8$	$- 4$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(1)$ .

$\frac{1}{4}$	$4$	$3$	$- 9$	$- 2$	$1$
		$1$	$1$	$- 2$	$- 1$
	$4$	$4$	$- 8$	$- 4$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{4}$	$4$	$3$	$- 9$	$- 2$	$1$
		$1$	$1$	$- 2$	$- 1$
	$4$	$4$	$- 8$	$- 4$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{3} + 4 x^{2} + (- 8) x - 4$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 4$

Schritt 7

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 4$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$(x - \frac{1}{4}) (4 (x^{3}) + 4 x^{2} - 8 x - 4)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$(x - \frac{1}{4}) (4 (x^{3}) + 4 (x^{2}) - 8 x - 4)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x$ heraus.

$(x - \frac{1}{4}) (4 (x^{3}) + 4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) - 4)$

Schritt 7.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$(x - \frac{1}{4}) (4 (x^{3}) + 4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (- 1))$

Schritt 7.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3}) + 4 (x^{2})$ heraus.

$(x - \frac{1}{4}) (4 (x^{3} + x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (- 1))$

Schritt 7.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} + x^{2}) + 4 (- 2 x)$ heraus.

$(x - \frac{1}{4}) (4 (x^{3} + x^{2} - 2 x) + 4 (- 1))$

Schritt 7.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} + x^{2} - 2 x) + 4 (- 1)$ heraus.

$(x - \frac{1}{4}) (4 (x^{3} + x^{2} - 2 x - 1))$

Schritt 8

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 1.80193773, - 0.44504186, \frac{1}{4}, 1.2469796$

Schritt 9