Algebra Beispiele

$r = \sin (θ) - \cos (θ)$

Schritt 1

Da $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ ist, ersetze $\sin (θ)$ durch $\frac{y}{r}$ .

$r = \frac{y}{r} - \cos (θ)$

Schritt 2

Da $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ ist, ersetze $\cos (θ)$ durch $\frac{x}{r}$ .

$r = \frac{y}{r} - \frac{x}{r}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten mit $r$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $r$ .

$r \cdot r = r (\frac{y}{r} - \frac{x}{r})$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$r^{2} = r (\frac{y}{r} - \frac{x}{r})$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $r (\frac{y}{r} - \frac{x}{r})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} = r \frac{y}{r} + r (- \frac{x}{r})$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r^{2} = r \frac{y}{r} + r (- \frac{x}{r})$

Schritt 3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$r^{2} = y + r (- \frac{x}{r})$

Schritt 3.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$r^{2} = y - r \frac{x}{r}$

Schritt 3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Faktorisiere $r$ aus $- r$ heraus.

$r^{2} = y + r \cdot - 1 \frac{x}{r}$

Schritt 3.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r^{2} = y + r \cdot - 1 \frac{x}{r}$

Schritt 3.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$r^{2} = y - x$

Schritt 4

Da $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ist, ersetze $r^{2}$ durch $x^{2} + y^{2}$ und $r$ durch $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = y - x$

Schritt 5

Schreibe in der Standardform.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} - y = - x$

Schritt 5.1.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} - y + x = 0$

Schritt 5.1.3

Bewege $- y$ .

$x^{2} + y^{2} + x - y = 0$

Schritt 5.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + x$ an.

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Schritt 5.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Schritt 5.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ ein.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 5.3

Setze ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ für $x^{2} + x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + x - y = 0$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} - y = 0$

Schritt 5.4

Bringe $- \frac{1}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} - y = 0 + \frac{1}{4}$

Schritt 5.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - y$ an.

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Schritt 5.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Schritt 5.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 5.5.3.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.5.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 5.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Schritt 5.5.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Schritt 5.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ ein.

${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 5.6

Setze ${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ für $y^{2} - y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + x - y = 0$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{4}$

Schritt 5.7

Bringe $- \frac{1}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 5.8

Vereinfache $0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ .

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Schritt 5.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1 + 1}{4}$

Schritt 5.8.2

Addiere $1$ und $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2}{4}$

Schritt 5.8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 (1)}{4}$

Schritt 5.8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2}$