Algebra Beispiele

$(\frac{5}{13}, y)$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{5}{13}, y)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{5}{13}, 0)$ und $(\frac{5}{13}, y)$ .

Gegenüberliegend : $y$

Ankathete : $\frac{5}{13}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{13}$ an.

$\sqrt{\frac{5^{2}}{13^{2}} + {(y)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{13^{2}} + {(y)}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $13$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{169} + {(y)}^{2}}$

Schritt 2.4

Um $y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{169}{169}$ .

$\sqrt{\frac{25}{169} + y^{2} \cdot \frac{169}{169}}$

Schritt 2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.5.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{169}{169}$ .

$\sqrt{\frac{25}{169} + \frac{y^{2} \cdot 169}{169}}$

Schritt 2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{25 + y^{2} \cdot 169}{169}}$

Schritt 2.6

Bringe $169$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\sqrt{\frac{25 + 169 y^{2}}{169}}$

Schritt 2.7

Schreibe $\frac{25 + 169 y^{2}}{169}$ als ${(\frac{1}{13})}^{2} (25 + 169 y^{2})$ um.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $25 + 169 y^{2}$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} (25 + 169 y^{2})}{169}}$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $13^{2}$ aus $169$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} (25 + 169 y^{2})}{13^{2} \cdot 1}}$

Schritt 2.7.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (25 + 169 y^{2})}{13^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{13})}^{2} (25 + 169 y^{2})}$

Schritt 2.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{13} \sqrt{25 + 169 y^{2}}$

Schritt 2.9

Kombiniere $\frac{1}{13}$ und $\sqrt{25 + 169 y^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 169 y^{2}}}{13}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{y}{\frac{\sqrt{25 + 169 y^{2}}}{13}}$ .

$\frac{y}{\frac{\sqrt{25 + 169 y^{2}}}{13}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (θ) = y (\frac{13}{\sqrt{25 + 169 y^{2}}})$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{13}{\sqrt{25 + 169 y^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{25 + 169 y^{2}}}{\sqrt{25 + 169 y^{2}}}$ .

$\sin (θ) = y (\frac{13}{\sqrt{25 + 169 y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{25 + 169 y^{2}}}{\sqrt{25 + 169 y^{2}}})$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{13}{\sqrt{25 + 169 y^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{25 + 169 y^{2}}}{\sqrt{25 + 169 y^{2}}}$ .

$\sin (θ) = y (\frac{13 \sqrt{25 + 169 y^{2}}}{\sqrt{25 + 169 y^{2}} \sqrt{25 + 169 y^{2}}})$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt{25 + 169 y^{2}}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = y (\frac{13 \sqrt{25 + 169 y^{2}}}{\sqrt{25 + 169 y^{2}} \sqrt{25 + 169 y^{2}}})$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{25 + 169 y^{2}}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = y (\frac{13 \sqrt{25 + 169 y^{2}}}{\sqrt{25 + 169 y^{2}} \sqrt{25 + 169 y^{2}}})$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = y (\frac{13 \sqrt{25 + 169 y^{2}}}{{\sqrt{25 + 169 y^{2}}}^{1 + 1}})$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = y (\frac{13 \sqrt{25 + 169 y^{2}}}{{\sqrt{25 + 169 y^{2}}}^{2}})$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt{25 + 169 y^{2}}}^{2}$ als $25 + 169 y^{2}$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{25 + 169 y^{2}}$ als ${(25 + 169 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = y (\frac{13 \sqrt{25 + 169 y^{2}}}{{({(25 + 169 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = y (\frac{13 \sqrt{25 + 169 y^{2}}}{{(25 + 169 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = y (\frac{13 \sqrt{25 + 169 y^{2}}}{{(25 + 169 y^{2})}^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = y (\frac{13 \sqrt{25 + 169 y^{2}}}{{(25 + 169 y^{2})}^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = y (\frac{13 \sqrt{25 + 169 y^{2}}}{25 + 169 y^{2}})$

Schritt 4.3.6.5

Vereinfache.

$\sin (θ) = y (\frac{13 \sqrt{25 + 169 y^{2}}}{25 + 169 y^{2}})$

Schritt 4.4

Kombiniere $y$ und $\frac{13 \sqrt{25 + 169 y^{2}}}{25 + 169 y^{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{y (13 \sqrt{25 + 169 y^{2}})}{25 + 169 y^{2}}$

Schritt 4.5

Bringe $13$ auf die linke Seite von $y$ .

$\sin (θ) = \frac{13 y \sqrt{25 + 169 y^{2}}}{25 + 169 y^{2}}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{13 y \sqrt{25 + 169 y^{2}}}{25 + 169 y^{2}} \approx \frac{13 y \sqrt{25 + 169 y^{2}}}{25 + 169 y^{2}}$