Algebra Beispiele

$\frac{3}{2}$ , $\frac{15}{4}$ , $\frac{75}{8}$ , $\frac{375}{16}$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $\frac{5}{2}$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = \frac{5}{2}$

Schritt 2

Dies ist die Form einer geometrischen Folge.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Schritt 3

Setze die Werte von $a_{1} = \frac{3}{2}$ und $r = \frac{5}{2}$ ein.

$a_{n} = \frac{3}{2} {(\frac{5}{2})}^{n - 1}$

Schritt 4

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$a_{n} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Schritt 5

Kombinieren.

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2 \cdot 2^{n - 1}}$

Schritt 6

Multipliziere $2$ mit $2^{n - 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{n - 1}$ .

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Schritt 6.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}$

Schritt 6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2^{1 + n - 1}}$

Schritt 6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + n - 1$ .

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2^{n + 0}}$

Schritt 6.2.2

Addiere $n$ und $0$ .

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2^{n}}$

Schritt 7

Dies ist die Formel zur Berechnung der Summe der ersten $n$ Terme der geometrischen Folge. Ermittle die Werte von $r$ und $a_{1}$ , um sie auszuwerten.

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Schritt 8

Ersetze die Variablen durch die bekannten Werte, um $S_{4}$ zu ermitteln.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(\frac{5}{2})}^{4} - 1}{\frac{5}{2} - 1}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{5^{4}}{2^{4}} - 1}{\frac{5}{2} - 1}$

Schritt 9.2

Potenziere $5$ mit $4$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625}{2^{4}} - 1}{\frac{5}{2} - 1}$

Schritt 9.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625}{16} - 1}{\frac{5}{2} - 1}$

Schritt 9.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

Schritt 9.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

Schritt 9.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625 - 1 \cdot 16}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

Schritt 9.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625 - 16}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

Schritt 9.7.2

Subtrahiere $16$ von $625$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 10.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 10.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5 - 2}{2}}$

Schritt 10.4.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{3}{2}}$

Schritt 11

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{609}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.1

Faktorisiere $3$ aus $609$ heraus.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{3 (203)}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{3 \cdot 203}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{203}{16} \cdot 2)$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{203}{2 (8)} \cdot 2)$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{203}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{203}{8}$

Schritt 14

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot \frac{203}{8}$ .

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{203}{8}$ .

$S_{4} = \frac{3 \cdot 203}{2 \cdot 8}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $3$ mit $203$ .

$S_{4} = \frac{609}{2 \cdot 8}$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$S_{4} = \frac{609}{16}$