Algebra Beispiele

$a + \frac{1}{a^{2}}$

Schritt 1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a + \frac{1}{a^{2}}$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [\frac{1}{a^{2}}]$ .

$\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [\frac{1}{a^{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d a} [\frac{1}{a^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d a} [\frac{1}{a^{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{a^{2}}$ als ${(a^{2})}^{- 1}$ um.

$1 + \frac{d}{d a} [{(a^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ ist $f' (g (a)) g' (a)$ , mit $f (a) = a^{- 1}$ und $g (a) = a^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $a^{2}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 - u^{- 2} \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $a^{2}$ .

$1 - {(a^{2})}^{- 2} \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 - {(a^{2})}^{- 2} (2 a)$

Schritt 2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(a^{2})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - a^{2 \cdot - 2} (2 a)$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$1 - a^{- 4} (2 a)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 - 2 a^{- 4} a$

Schritt 2.6

Potenziere $a$ mit $1$ .

$1 - 2 (a^{1} a^{- 4})$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - 2 a^{1 - 4}$

Schritt 2.8

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$1 - 2 a^{- 3}$

Schritt 3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 2 \frac{1}{a^{3}}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{a^{3}}$ .

$1 + \frac{- 2}{a^{3}}$

Schritt 4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{2}{a^{3}}$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$- \frac{2}{a^{3}} + 1$