Algebra Beispiele

$x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$

Schritt 1

Schreibe $x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$ als Funktion.

$f (x) = x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 10$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} - 30 x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 30 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 (2 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 30$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $20 x^{3} - 60 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere.

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Schritt 5.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x)$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 10$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x)$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 \cdot 1$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + 9$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $5 x^{4} - 30 x^{2} + 9$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 = 0$

Schritt 6.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$5 u^{2} - 30 u + 9 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 6.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.4

Setze die Werte $a = 5$ , $b = - 30$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 9)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1.1

Potenziere $- 30$ mit $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 5 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 9$ .

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Schritt 6.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 20 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $9$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 180}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.1.3

Subtrahiere $180$ von $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{720}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.1.4

Schreibe $720$ als $12^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.5.1.4.1

Faktorisiere $144$ aus $720$ heraus.

$u = \frac{30 \pm \sqrt{144 (5)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.1.4.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$u = \frac{30 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache $\frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$ .

$u = \frac{15 \pm 6 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 6.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1.1

Potenziere $- 30$ mit $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 5 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 9$ .

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Schritt 6.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 20 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $9$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 180}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.6.1.3

Subtrahiere $180$ von $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{720}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.6.1.4

Schreibe $720$ als $12^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.6.1.4.1

Faktorisiere $144$ aus $720$ heraus.

$u = \frac{30 \pm \sqrt{144 (5)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.6.1.4.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$u = \frac{30 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$

Schritt 6.6.3

Vereinfache $\frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$ .

$u = \frac{15 \pm 6 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 6.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = \frac{15 + 6 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 6.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.1.1

Potenziere $- 30$ mit $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 5 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 9$ .

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Schritt 6.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 20 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $9$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 180}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.7.1.3

Subtrahiere $180$ von $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{720}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.7.1.4

Schreibe $720$ als $12^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.7.1.4.1

Faktorisiere $144$ aus $720$ heraus.

$u = \frac{30 \pm \sqrt{144 (5)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.7.1.4.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$u = \frac{30 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$u = \frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$

Schritt 6.7.3

Vereinfache $\frac{30 \pm 12 \sqrt{5}}{10}$ .

$u = \frac{15 \pm 6 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 6.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = \frac{15 - 6 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 6.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{15 + 6 \sqrt{5}}{5}, \frac{15 - 6 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 6.9

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 5.68328157$

${(x^{2})}^{1} = 0.31671842$

Schritt 6.10

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 5.68328157$

Schritt 6.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5.68328157}$

Schritt 6.11.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.11.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5.68328157}$

Schritt 6.11.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5.68328157}$

Schritt 6.11.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5.68328157}, - \sqrt{5.68328157}$

Schritt 6.12

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 0.31671842$

Schritt 6.13

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.13.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 0.31671842$

Schritt 6.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.31671842}$

Schritt 6.13.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.13.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{0.31671842}$

Schritt 6.13.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{0.31671842}$

Schritt 6.13.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{0.31671842}, - \sqrt{0.31671842}$

Schritt 6.14

Die Lösung von $5 x^{4} - 30 x^{2} + 9 = 0$ ist $x = \sqrt{5.68328157}, - \sqrt{5.68328157}, \sqrt{0.31671842}, - \sqrt{0.31671842}$ .

$x = \sqrt{5.68328157}, - \sqrt{5.68328157}, \sqrt{0.31671842}, - \sqrt{0.31671842}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \sqrt{5.68328157}, - \sqrt{5.68328157}, \sqrt{0.31671842}, - \sqrt{0.31671842}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \sqrt{5.68328157}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {(\sqrt{5.68328157})}^{3} - 60 \sqrt{5.68328157}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Schreibe ${\sqrt{5.68328157}}^{3}$ als $\sqrt{{5.68328157}^{3}}$ um.

$20 \sqrt{{5.68328157}^{3}} - 60 \sqrt{5.68328157}$

Schritt 10.2

Potenziere $5.68328157$ mit $3$ .

$20 \sqrt{183.56822979} - 60 \sqrt{5.68328157}$

Schritt 11

$x = \sqrt{5.68328157}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \sqrt{5.68328157}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \sqrt{5.68328157}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{5.68328157}$ .

$f (\sqrt{5.68328157}) = {(\sqrt{5.68328157})}^{5} - 10 {(\sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (\sqrt{5.68328157})$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{5.68328157}}^{5}$ als $\sqrt{{5.68328157}^{5}}$ um.

$f (\sqrt{5.68328157}) = \sqrt{{5.68328157}^{5}} - 10 {(\sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (\sqrt{5.68328157})$

Schritt 12.2.1.2

Potenziere $5.68328157$ mit $5$ .

$f (\sqrt{5.68328157}) = \sqrt{5929.19681311} - 10 {(\sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (\sqrt{5.68328157})$

Schritt 12.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{5.68328157}}^{3}$ als $\sqrt{{5.68328157}^{3}}$ um.

$f (\sqrt{5.68328157}) = \sqrt{5929.19681311} - 10 \sqrt{{5.68328157}^{3}} + 9 (\sqrt{5.68328157})$

Schritt 12.2.1.4

Potenziere $5.68328157$ mit $3$ .

$f (\sqrt{5.68328157}) = \sqrt{5929.19681311} - 10 \sqrt{183.56822979} + 9 \sqrt{5.68328157}$

Schritt 12.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{5929.19681311} - 10 \sqrt{183.56822979} + 9 \sqrt{5.68328157}$ .

$y = \sqrt{5929.19681311} - 10 \sqrt{183.56822979} + 9 \sqrt{5.68328157}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \sqrt{5.68328157}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Schritt 14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{5.68328157}$ an.

$20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5.68328157}}^{3}) - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Schritt 14.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$20 (- {\sqrt{5.68328157}}^{3}) - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Schritt 14.3

Schreibe ${\sqrt{5.68328157}}^{3}$ als $\sqrt{{5.68328157}^{3}}$ um.

$20 (- \sqrt{{5.68328157}^{3}}) - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Schritt 14.4

Potenziere $5.68328157$ mit $3$ .

$20 (- \sqrt{183.56822979}) - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Schritt 14.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$- 20 \sqrt{183.56822979} - 60 (- \sqrt{5.68328157})$

Schritt 14.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 60$ .

$- 20 \sqrt{183.56822979} + 60 \sqrt{5.68328157}$

Schritt 15

$x = - \sqrt{5.68328157}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \sqrt{5.68328157}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \sqrt{5.68328157}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{5.68328157}$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = {(- \sqrt{5.68328157})}^{5} - 10 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{5.68328157}$ an.

$f (- \sqrt{5.68328157}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{5.68328157}}^{5} - 10 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Schritt 16.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - {\sqrt{5.68328157}}^{5} - 10 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Schritt 16.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{5.68328157}}^{5}$ als $\sqrt{{5.68328157}^{5}}$ um.

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{{5.68328157}^{5}} - 10 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Schritt 16.2.1.4

Potenziere $5.68328157$ mit $5$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} - 10 {(- \sqrt{5.68328157})}^{3} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Schritt 16.2.1.5

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{5.68328157}$ an.

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} - 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5.68328157}}^{3}) + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Schritt 16.2.1.6

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} - 10 (- {\sqrt{5.68328157}}^{3}) + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Schritt 16.2.1.7

Schreibe ${\sqrt{5.68328157}}^{3}$ als $\sqrt{{5.68328157}^{3}}$ um.

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} - 10 (- \sqrt{{5.68328157}^{3}}) + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Schritt 16.2.1.8

Potenziere $5.68328157$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} - 10 (- \sqrt{183.56822979}) + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Schritt 16.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} + 10 \sqrt{183.56822979} + 9 (- \sqrt{5.68328157})$

Schritt 16.2.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (- \sqrt{5.68328157}) = - \sqrt{5929.19681311} + 10 \sqrt{183.56822979} - 9 \sqrt{5.68328157}$

Schritt 16.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{5929.19681311} + 10 \sqrt{183.56822979} - 9 \sqrt{5.68328157}$ .

$y = - \sqrt{5929.19681311} + 10 \sqrt{183.56822979} - 9 \sqrt{5.68328157}$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \sqrt{0.31671842}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {(\sqrt{0.31671842})}^{3} - 60 \sqrt{0.31671842}$

Schritt 18

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.1

Schreibe ${\sqrt{0.31671842}}^{3}$ als $\sqrt{{0.31671842}^{3}}$ um.

$20 \sqrt{{0.31671842}^{3}} - 60 \sqrt{0.31671842}$

Schritt 18.2

Potenziere $0.31671842$ mit $3$ .

$20 \sqrt{0.0317702} - 60 \sqrt{0.31671842}$

Schritt 19

$x = \sqrt{0.31671842}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \sqrt{0.31671842}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 20

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \sqrt{0.31671842}$ .

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Schritt 20.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{0.31671842}$ .

$f (\sqrt{0.31671842}) = {(\sqrt{0.31671842})}^{5} - 10 {(\sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (\sqrt{0.31671842})$

Schritt 20.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 20.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{0.31671842}}^{5}$ als $\sqrt{{0.31671842}^{5}}$ um.

$f (\sqrt{0.31671842}) = \sqrt{{0.31671842}^{5}} - 10 {(\sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (\sqrt{0.31671842})$

Schritt 20.2.1.2

Potenziere $0.31671842$ mit $5$ .

$f (\sqrt{0.31671842}) = \sqrt{0.00318688} - 10 {(\sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (\sqrt{0.31671842})$

Schritt 20.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{0.31671842}}^{3}$ als $\sqrt{{0.31671842}^{3}}$ um.

$f (\sqrt{0.31671842}) = \sqrt{0.00318688} - 10 \sqrt{{0.31671842}^{3}} + 9 (\sqrt{0.31671842})$

Schritt 20.2.1.4

Potenziere $0.31671842$ mit $3$ .

$f (\sqrt{0.31671842}) = \sqrt{0.00318688} - 10 \sqrt{0.0317702} + 9 \sqrt{0.31671842}$

Schritt 20.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{0.00318688} - 10 \sqrt{0.0317702} + 9 \sqrt{0.31671842}$ .

$y = \sqrt{0.00318688} - 10 \sqrt{0.0317702} + 9 \sqrt{0.31671842}$

Schritt 21

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \sqrt{0.31671842}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Schritt 22

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 22.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{0.31671842}$ an.

$20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.31671842}}^{3}) - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Schritt 22.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$20 (- {\sqrt{0.31671842}}^{3}) - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Schritt 22.3

Schreibe ${\sqrt{0.31671842}}^{3}$ als $\sqrt{{0.31671842}^{3}}$ um.

$20 (- \sqrt{{0.31671842}^{3}}) - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Schritt 22.4

Potenziere $0.31671842$ mit $3$ .

$20 (- \sqrt{0.0317702}) - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Schritt 22.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$- 20 \sqrt{0.0317702} - 60 (- \sqrt{0.31671842})$

Schritt 22.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 60$ .

$- 20 \sqrt{0.0317702} + 60 \sqrt{0.31671842}$

Schritt 23

$x = - \sqrt{0.31671842}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \sqrt{0.31671842}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 24

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \sqrt{0.31671842}$ .

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Schritt 24.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{0.31671842}$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = {(- \sqrt{0.31671842})}^{5} - 10 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Schritt 24.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 24.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 24.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{0.31671842}$ an.

$f (- \sqrt{0.31671842}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{0.31671842}}^{5} - 10 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Schritt 24.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - {\sqrt{0.31671842}}^{5} - 10 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Schritt 24.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{0.31671842}}^{5}$ als $\sqrt{{0.31671842}^{5}}$ um.

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{{0.31671842}^{5}} - 10 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Schritt 24.2.1.4

Potenziere $0.31671842$ mit $5$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} - 10 {(- \sqrt{0.31671842})}^{3} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Schritt 24.2.1.5

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{0.31671842}$ an.

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} - 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.31671842}}^{3}) + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Schritt 24.2.1.6

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} - 10 (- {\sqrt{0.31671842}}^{3}) + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Schritt 24.2.1.7

Schreibe ${\sqrt{0.31671842}}^{3}$ als $\sqrt{{0.31671842}^{3}}$ um.

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} - 10 (- \sqrt{{0.31671842}^{3}}) + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Schritt 24.2.1.8

Potenziere $0.31671842$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} - 10 (- \sqrt{0.0317702}) + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Schritt 24.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} + 10 \sqrt{0.0317702} + 9 (- \sqrt{0.31671842})$

Schritt 24.2.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (- \sqrt{0.31671842}) = - \sqrt{0.00318688} + 10 \sqrt{0.0317702} - 9 \sqrt{0.31671842}$

Schritt 24.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{0.00318688} + 10 \sqrt{0.0317702} - 9 \sqrt{0.31671842}$ .

$y = - \sqrt{0.00318688} + 10 \sqrt{0.0317702} - 9 \sqrt{0.31671842}$

Schritt 25

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$ .

$(\sqrt{5.68328157}, \sqrt{5929.19681311} - 10 \sqrt{183.56822979} + 9 \sqrt{5.68328157})$ ist ein lokales Minimum

$(- \sqrt{5.68328157}, - \sqrt{5929.19681311} + 10 \sqrt{183.56822979} - 9 \sqrt{5.68328157})$ ist ein lokales Maximum

$(\sqrt{0.31671842}, \sqrt{0.00318688} - 10 \sqrt{0.0317702} + 9 \sqrt{0.31671842})$ ist ein lokales Maximum

$(- \sqrt{0.31671842}, - \sqrt{0.00318688} + 10 \sqrt{0.0317702} - 9 \sqrt{0.31671842})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 26