Algebra Beispiele

$9 y^{2} - x^{2} + 54 y + 4 x + 68 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $68$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 y^{2} - x^{2} + 54 y + 4 x = - 68$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $9 y^{2} + 54 y$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $54$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{27}{9}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $9$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{1}$

Schritt 2.3.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$d = 3$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $54$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $2916$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$e = 0 - 81$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $81$ von $0$ .

$e = - 81$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ ein.

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Schritt 3

Setze $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ für $9 y^{2} + 54 y$ ein in der Gleichung $9 y^{2} - x^{2} + 54 y + 4 x = - 68$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81 - x^{2} + 4 x = - 68$

Schritt 4

Bringe $- 81$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $81$ auf beiden Seiten.

$9 {(y + 3)}^{2} - x^{2} + 4 x = - 68 + 81$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} + 4 x$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 5.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.2.1.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Schritt 5.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Schritt 5.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - - 4$

Schritt 5.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$e = 4$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - 2)}^{2} + 4$ ein.

$- {(x - 2)}^{2} + 4$

Schritt 6

Setze $- {(x - 2)}^{2} + 4$ für $- x^{2} + 4 x$ ein in der Gleichung $9 y^{2} - x^{2} + 54 y + 4 x = - 68$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 2)}^{2} + 4 = - 68 + 81$

Schritt 7

Bringe $4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 2)}^{2} = - 68 + 81 - 4$

Schritt 8

Vereinfache $- 68 + 81 - 4$ .

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Schritt 8.1

Addiere $- 68$ und $81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 2)}^{2} = 13 - 4$

Schritt 8.2

Subtrahiere $4$ von $13$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 2)}^{2} = 9$

Schritt 9

Teile jeden Term durch $9$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{9 {(y + 3)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

${(y + 3)}^{2} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 11

Dies ist die Standardform einer Hyperbel. Verwende diese Form, um die Exzentrizität zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 12

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 1$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

Schritt 13

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 14

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}}{1}$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Dividiere $\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}$ durch $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Schritt 15.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

Schritt 15.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{1 + 9}$

Schritt 15.4

Addiere $1$ und $9$ .

$\sqrt{10}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{10}$

Dezimalform:

$3.16227766 \dots$

Schritt 17