Algebra Beispiele

$r = 3 \cos (2 θ)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $3 \cos (2 θ)$ .

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Schritt 1.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$r = 3 (2 \cos^{2} (θ) - 1)$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$r = 3 (2 \cos^{2} (θ)) + 3 \cdot - 1$

Schritt 1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$r = 6 \cos^{2} (θ) + 3 \cdot - 1$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$r = 6 \cos^{2} (θ) - 3$

Schritt 2

Da $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ ist, ersetze $\cos (θ)$ durch $\frac{x}{r}$ .

$r = 6 {(\frac{x}{r})}^{2} - 3$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten mit $r$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $r$ .

$r \cdot r = r (6 {(\frac{x}{r})}^{2} - 3)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$r^{2} = r (6 {(\frac{x}{r})}^{2} - 3)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $r (6 {(\frac{x}{r})}^{2} - 3)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{r}$ an.

$r^{2} = r (6 \frac{x^{2}}{r^{2}} - 3)$

Schritt 3.3.1.1.2

Kombiniere $6$ und $\frac{x^{2}}{r^{2}}$ .

$r^{2} = r (\frac{6 x^{2}}{r^{2}} - 3)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} = r \frac{6 x^{2}}{r^{2}} + r \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $r$ aus $r^{2}$ heraus.

$r^{2} = r \frac{6 x^{2}}{r \cdot r} + r \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r^{2} = r \frac{6 x^{2}}{r \cdot r} + r \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r^{2} = \frac{6 x^{2}}{r} + r \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.2.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $r$ .

$r^{2} = \frac{6 x^{2}}{r} - 3 r$

Schritt 4

Da $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ist, ersetze $r^{2}$ durch $x^{2} + y^{2}$ und $r$ durch $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = \frac{6 x^{2}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} - 3 \sqrt{x^{2} + y^{2}}$