Algebra Beispiele

$3 x^{2} + 4 x = y$ , $[0, 100]$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $y = 3 x^{2} + 4 x$ um.

$y = 3 x^{2} + 4 x$

Schritt 2

Der Zwischenwertsatz besagt, dass, wenn $f$ eine reellwertige, stetige Funktion im Intervall $[a, b]$ ist und $u$ eine Zahl zwischen $f (a)$ und $f (b)$ ist, dann ist ein $c$ im Intervall $[a, b]$ enthalten, sodass $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Berechne $f (a) = f (0) = 3 {(0)}^{2} + 4 (0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 4 (0)$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 4 (0)$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 4.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 5

Berechne $f (b) = f (100) = 3 {(100)}^{2} + 4 (100)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Potenziere $100$ mit $2$ .

$f (100) = 3 \cdot 10000 + 4 (100)$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $10000$ .

$f (100) = 30000 + 4 (100)$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $100$ .

$f (100) = 30000 + 400$

Schritt 5.2

Addiere $30000$ und $400$ .

$f (100) = 30400$

Schritt 6

Da sich $0$ im Intervall $[0, 30400]$ befindet, löse die Gleichung an der Wurzel nach $x$ auf, indem du $y$ in $y = 3 x^{2} + 4 x$ gleich $0$ setzt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{2} + 4 x = 0$ um.

$3 x^{2} + 4 x = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} + 4 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$x (3 x) + 4 x = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$x (3 x) + x \cdot 4 = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x) + x \cdot 4$ heraus.

$x (3 x + 4) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 x + 4 = 0$

Schritt 6.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.5

Setze $3 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Setze $3 x + 4$ gleich $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $3 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 4$

Schritt 6.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 6.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 6.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Schritt 6.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{3}$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (3 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{4}{3}$

Schritt 7

Der Zwischenwertsatz besagt, dass es eine Wurzel $f (c) = 0$ im Intervall $[0, 30400]$ gibt, weil $f$ eine im Intervall $[0, 100]$ stetige Funktion ist.

Die Wurzeln im Intervall $[0, 100]$ befinden sich bei $x = 0$ .

Schritt 8