Algebra Beispiele

$(- 1, 6)$ , $(1, 4)$ , $(2, 9)$

Schritt 1

Benutze die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung $y = a x^{2} + b x + c$ als den Ausgangspunkt zum Auffinden der Gleichung durch die drei Punkte.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 2

Erzeuge ein System von Gleichungen durch Einsetzen der $x$ - und $y$ -Werte jedes Punkts in die Standardformel einer quadratischen Gleichung, um das System mit drei Gleichungen zu bilden.

$6 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c, 4 = a {(1)}^{2} + b (1) + c, 9 = a {(2)}^{2} + b (2) + c$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Löse in $4 = a + b + c$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $a + b + c = 4$ um.

$a + b + c = 4$

$6 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Schritt 3.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.2.1

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a + c = 4 - b$

$6 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Schritt 3.1.2.2

Subtrahiere $c$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = 4 - b - c$

$6 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$a = 4 - b - c$

$6 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$a = 4 - b - c$

$6 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $4 - b - c$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $a$ in $6 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ durch $4 - b - c$ .

$6 = (4 - b - c) {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$a = 4 - b - c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $(4 - b - c) {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$6 = (4 - b - c) \cdot 1 + b (- 1) + c$

$a = 4 - b - c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $4 - b - c$ mit $1$ .

$6 = 4 - b - c + b (- 1) + c$

$a = 4 - b - c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $b$ .

$6 = 4 - b - c - 1 b + c$

$a = 4 - b - c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

$6 = 4 - b - c - b + c$

$a = 4 - b - c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$6 = 4 - b - c - b + c$

$a = 4 - b - c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 - b - c - b + c$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1.1

Addiere $- c$ und $c$ .

$6 = 4 - b - b + 0$

$a = 4 - b - c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Schritt 3.2.2.1.2.1.2

Addiere $4 - b - b$ und $0$ .

$6 = 4 - b - b$

$a = 4 - b - c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$6 = 4 - b - b$

$a = 4 - b - c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Subtrahiere $b$ von $- b$ .

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

$9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $a$ in $9 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$ durch $4 - b - c$ .

$9 = (4 - b - c) \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache $(4 - b - c) \cdot 2^{2} + b (2) + c$ .

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Schritt 3.2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$9 = (4 - b - c) \cdot 4 + b (2) + c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.2.4.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 = 4 \cdot 4 - b \cdot 4 - c \cdot 4 + b (2) + c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.2.4.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1.1.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$9 = 16 - b \cdot 4 - c \cdot 4 + b (2) + c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.2.4.1.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$9 = 16 - 4 b - c \cdot 4 + b (2) + c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.2.4.1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$9 = 16 - 4 b - 4 c + b (2) + c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

$9 = 16 - 4 b - 4 c + b (2) + c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.2.4.1.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $b$ .

$9 = 16 - 4 b - 4 c + 2 b + c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

$9 = 16 - 4 b - 4 c + 2 b + c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.2.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.4.1.2.1

Addiere $- 4 b$ und $2 b$ .

$9 = 16 - 2 b - 4 c + c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.2.4.1.2.2

Addiere $- 4 c$ und $c$ .

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$6 = 4 - 2 b$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.3

Löse in $6 = 4 - 2 b$ nach $b$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $4 - 2 b = 6$ um.

$4 - 2 b = 6$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 b = 6 - 4$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$- 2 b = 2$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$a = 4 - b - c$

$- 2 b = 2$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 b = 2$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 b = 2$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 b}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 b}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{2}{- 2}$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$a = 4 - b - c$

$b = \frac{2}{- 2}$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$a = 4 - b - c$

$b = \frac{2}{- 2}$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Dividiere $2$ durch $- 2$ .

$b = - 1$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$a = 4 - b - c$

$b = - 1$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$a = 4 - b - c$

$b = - 1$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$a = 4 - b - c$

$b = - 1$

$9 = 16 - 2 b - 3 c$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $b$ in $9 = 16 - 2 b - 3 c$ durch $- 1$ .

$9 = 16 - 2 \cdot - 1 - 3 c$

$b = - 1$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $16 - 2 \cdot - 1 - 3 c$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$9 = 16 + 2 - 3 c$

$b = - 1$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.4.2.1.2

Addiere $16$ und $2$ .

$9 = 18 - 3 c$

$b = - 1$

$a = 4 - b - c$

$9 = 18 - 3 c$

$b = - 1$

$a = 4 - b - c$

$9 = 18 - 3 c$

$b = - 1$

$a = 4 - b - c$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $b$ in $a = 4 - b - c$ durch $- 1$ .

$a = 4 - (- 1) - c$

$9 = 18 - 3 c$

$b = - 1$

Schritt 3.4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.1

Vereinfache $4 - (- 1) - c$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a = 4 + 1 - c$

$9 = 18 - 3 c$

$b = - 1$

Schritt 3.4.4.1.2

Addiere $4$ und $1$ .

$a = 5 - c$

$9 = 18 - 3 c$

$b = - 1$

$a = 5 - c$

$9 = 18 - 3 c$

$b = - 1$

$a = 5 - c$

$9 = 18 - 3 c$

$b = - 1$

$a = 5 - c$

$9 = 18 - 3 c$

$b = - 1$

Schritt 3.5

Löse in $9 = 18 - 3 c$ nach $c$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $18 - 3 c = 9$ um.

$18 - 3 c = 9$

$a = 5 - c$

$b = - 1$

Schritt 3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $c$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 c = 9 - 18$

$a = 5 - c$

$b = - 1$

Schritt 3.5.2.2

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$- 3 c = - 9$

$a = 5 - c$

$b = - 1$

$- 3 c = - 9$

$a = 5 - c$

$b = - 1$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 c = - 9$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 c = - 9$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 c}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$a = 5 - c$

$b = - 1$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 c}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$a = 5 - c$

$b = - 1$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{- 9}{- 3}$

$a = 5 - c$

$b = - 1$

$c = \frac{- 9}{- 3}$

$a = 5 - c$

$b = - 1$

$c = \frac{- 9}{- 3}$

$a = 5 - c$

$b = - 1$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 3$ .

$c = 3$

$a = 5 - c$

$b = - 1$

$c = 3$

$a = 5 - c$

$b = - 1$

$c = 3$

$a = 5 - c$

$b = - 1$

$c = 3$

$a = 5 - c$

$b = - 1$

Schritt 3.6

Ersetze alle Vorkommen von $c$ durch $3$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Ersetze alle $c$ in $a = 5 - c$ durch $3$ .

$a = 5 - (3)$

$c = 3$

$b = - 1$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1

Vereinfache $5 - (3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$a = 5 - 3$

$c = 3$

$b = - 1$

Schritt 3.6.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$a = 2$

$c = 3$

$b = - 1$

$a = 2$

$c = 3$

$b = - 1$

$a = 2$

$c = 3$

$b = - 1$

$a = 2$

$c = 3$

$b = - 1$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$a = 2, c = 3, b = - 1$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ , $b$ und $c$ in die Formel für eine quadratische Gleichung ein, um die resultierende Gleichung zu ermitteln.

$y = 2 x^{2} - x + 3$

Schritt 5