Algebra Beispiele

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} + 6 x^{2} + 20 x + 6}{x^{3} + 2 x^{2} + x}$

Schritt 1

Dividiere unter Verwendung schriftlicher Polynomdivision.

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 0$

$x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$20 x$

Schritt 1.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$20 x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$20 x$

$6$

Schritt 1.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x + \frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x^{3} + 2 x^{2} + x}$

Schritt 2

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 2 x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x \cdot x^{2} + 2 x^{2} + x}$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x}$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x^{1}}$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (2 x)$ heraus.

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x (x^{2} + 2 x) + x \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} + 2 x) + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x (x^{2} + 2 x + 1)}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x (x^{2} + 2 x + 1^{2})}$

Schritt 2.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 2.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x + 6}{x {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(5 x^{2} + 20 x + 6) (x {(x + 1)}^{2})}{x {(x + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 x^{2} + 20 x + 6) (x {(x + 1)}^{2})}{x {(x + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(5 x^{2} + 20 x + 6) ({(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 x^{2} + 20 x + 6) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.6.2

Dividiere $5 x^{2} + 20 x + 6$ durch $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = \frac{A (x {(x + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7.1.2

Dividiere $A ({(x + 1)}^{2})$ durch $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A ({(x + 1)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7.2

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A ((x + 1) (x + 1)) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7.3

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.7.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x (x + 1) + 1 (x + 1)) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.7.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7.4.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7.4.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x^{2} + x + x + 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7.4.2

Addiere $x$ und $x$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A (x^{2} + 2 x + 1) + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + A (2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7.6

Vereinfache.

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Schritt 2.7.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7.6.2

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + \frac{(B) (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.7.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + \frac{B (x {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7.7.2

Dividiere $(B) (x)$ durch $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Schritt 2.7.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 1)}^{2}$ und $x + 1$ .

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Schritt 2.7.8.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $(C) (x {(x + 1)}^{2})$ heraus.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + \frac{(x + 1) (C (x (x + 1)))}{x + 1}$

Schritt 2.7.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.8.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + \frac{(x + 1) (C (x (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Schritt 2.7.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + \frac{(x + 1) (C (x (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Schritt 2.7.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + \frac{C (x (x + 1))}{1}$

Schritt 2.7.8.2.4

Dividiere $C (x (x + 1))$ durch $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + C (x (x + 1))$

Schritt 2.7.9

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Schritt 2.7.10

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Schritt 2.7.11

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + C (x^{2} + x)$

Schritt 2.7.12

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 A x + A + B x + C x^{2} + C x$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Bewege $A$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 x A + A + B x + C x^{2} + C x$

Schritt 2.8.2

Stelle $B$ und $x$ um.

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 x A + A + B x + C x^{2} + C x$

Schritt 2.8.3

Bewege $A$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 x A + B x + C x^{2} + C x + A$

Schritt 2.8.4

Bewege $B x$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + 2 x A + C x^{2} + B x + C x + A$

Schritt 2.8.5

Bewege $2 x A$ .

$5 x^{2} + 20 x + 6 = A x^{2} + C x^{2} + 2 x A + B x + C x + A$

Schritt 3

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 3.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$5 = A + C$

Schritt 3.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$20 = 2 A + B + C$

Schritt 3.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$6 = A$

Schritt 3.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$5 = A + C$

$20 = 2 A + B + C$

$6 = A$

$5 = A + C$

$20 = 2 A + B + C$

$6 = A$

Schritt 4

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $A = 6$ um.

$A = 6$

$5 = A + C$

$20 = 2 A + B + C$

Schritt 4.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Ersetze alle $A$ in $5 = A + C$ durch $6$ .

$5 = (6) + C$

$A = 6$

$20 = 2 A + B + C$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Entferne die Klammern.

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$20 = 2 A + B + C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$20 = 2 A + B + C$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $A$ in $20 = 2 A + B + C$ durch $6$ .

$20 = 2 (6) + B + C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$20 = 12 + B + C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$20 = 12 + B + C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$20 = 12 + B + C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

Schritt 4.3

Löse in $5 = 6 + C$ nach $C$ auf.

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Schritt 4.3.1

Schreibe die Gleichung als $6 + C = 5$ um.

$6 + C = 5$

$20 = 12 + B + C$

$A = 6$

Schritt 4.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 5 - 6$

$20 = 12 + B + C$

$A = 6$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$C = - 1$

$20 = 12 + B + C$

$A = 6$

$C = - 1$

$20 = 12 + B + C$

$A = 6$

$C = - 1$

$20 = 12 + B + C$

$A = 6$

Schritt 4.4

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Ersetze alle $C$ in $20 = 12 + B + C$ durch $- 1$ .

$20 = 12 + B - 1$

$C = - 1$

$A = 6$

Schritt 4.4.2

Vereinfache $20 = 12 + B - 1$ .

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1.1

Entferne die Klammern.

$20 = 12 + B - 1$

$C = - 1$

$A = 6$

$20 = 12 + B - 1$

$C = - 1$

$A = 6$

Schritt 4.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $12$ .

$20 = B + 11$

$C = - 1$

$A = 6$

$20 = B + 11$

$C = - 1$

$A = 6$

$20 = B + 11$

$C = - 1$

$A = 6$

$20 = B + 11$

$C = - 1$

$A = 6$

Schritt 4.5

Löse in $20 = B + 11$ nach $B$ auf.

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Schritt 4.5.1

Schreibe die Gleichung als $B + 11 = 20$ um.

$B + 11 = 20$

$C = - 1$

$A = 6$

Schritt 4.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.5.2.1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 20 - 11$

$C = - 1$

$A = 6$

Schritt 4.5.2.2

Subtrahiere $11$ von $20$ .

$B = 9$

$C = - 1$

$A = 6$

$B = 9$

$C = - 1$

$A = 6$

$B = 9$

$C = - 1$

$A = 6$

Schritt 4.6

Löse das Gleichungssystem.

$B = 9 C = - 1 A = 6$

Schritt 4.7

Liste alle Lösungen auf.

$B = 9, C = - 1, A = 6$

Schritt 5

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $x + \frac{A}{x} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$x + \frac{6}{x} + \frac{9}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 1}{x + 1}$