Algebra Beispiele

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} - 1}{\tan (x) - 1}$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

Schritt 2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit ${\cos (x)}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$ mit $\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} \cdot \frac{\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{3} (\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1)}{{\cos (x)}^{3} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1)}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{\cos (x)}^{3} \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\cos (x)}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{\cos (x)}^{3} \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus ${\cos (x)}^{3}$ heraus.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{\cos (x) {\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{\cos (x) {\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe ${\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ als ${(\cos (x) \cdot - 1)}^{3}$ um.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{3}}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = \sin (x)$ und $b = \cos (x) \cdot - 1$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - 1 \cdot \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.3.2

Schreibe $- 1 \cos (x)$ als $- \cos (x)$ um.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.3.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (- 1 \cdot \cos (x)) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.3.4

Schreibe $- 1 \cos (x)$ als $- \cos (x)$ um.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (- \cos (x)) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.3.5

Multipliziere $- \sin (x) (- \cos (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + 1 \sin (x) \cos (x) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.3.5.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- 1 \cdot \cos (x))}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.3.7

Schreibe $- 1 \cos (x)$ als $- \cos (x)$ um.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- \cos (x))}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.3.8

Wende die Produktregel auf $- \cos (x)$ an.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- 1)}^{2} {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.3.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + 1 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.3.10

Mutltipliziere ${\cos (x)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Faktorisiere ${\cos (x)}^{2}$ aus ${\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere ${\cos (x)}^{2}$ aus ${\cos (x)}^{2} \sin (x)$ heraus.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere ${\cos (x)}^{2}$ aus ${\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{2} (\cos (x) \cdot - 1)}$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere ${\cos (x)}^{2}$ aus ${\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{2} (\cos (x) \cdot - 1)$ heraus.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1)}$

Schritt 3.5.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) - 1 \cdot \cos (x))}$

Schritt 3.5.3

Schreibe $- 1 \cos (x)$ als $- \cos (x)$ um.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) - \cos (x))}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x) - \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ als $\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$ um.

$\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$ ist eine Identitätsgleichung