Algebra Beispiele

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x))$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{1}{\cos (x)} \csc (x) (\tan (x) + \cot (x))$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\tan (x) + \cot (x))$

Schritt 2.3

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x))$

Schritt 2.4

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.9.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \sin (x)$ heraus.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 3.11

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Schritt 3.12

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Schritt 3.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Schritt 3.14

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Schritt 5

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 5.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

Schritt 5.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 5.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 5.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung