Algebra Beispiele

$12 x^{2} - 12 y^{2} + x - y - 3 = 0$

Schritt 1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} - 12 y^{2} + x - y = 3$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $12 x^{2} + x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 12$

$b = 1$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 \cdot 12}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$d = \frac{1}{24}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 12}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 12}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$e = 0 - \frac{1}{48}$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{48}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{48}$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $12 {(x + \frac{1}{24})}^{2} - \frac{1}{48}$ ein.

$12 {(x + \frac{1}{24})}^{2} - \frac{1}{48}$

Schritt 3

Setze $12 {(x + \frac{1}{24})}^{2} - \frac{1}{48}$ für $12 x^{2} + x$ ein in der Gleichung $12 x^{2} - 12 y^{2} + x - y = 3$ .

$12 {(x + \frac{1}{24})}^{2} - \frac{1}{48} - 12 y^{2} - y = 3$

Schritt 4

Bringe $- \frac{1}{48}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{48}$ auf beiden Seiten.

$12 {(x + \frac{1}{24})}^{2} - 12 y^{2} - y = 3 + \frac{1}{48}$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 12 y^{2} - y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 12$

$b = - 1$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1}{2 \cdot - 12}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$d = \frac{- 1}{- 24}$

Schritt 5.3.2.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{1}{24}$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot - 12}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 12}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 12$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 48}$

Schritt 5.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 0 - - \frac{1}{48}$

Schritt 5.4.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{1}{48}$ .

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Schritt 5.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{48})$

Schritt 5.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{48}$ mit $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{48}$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{48}$ .

$e = \frac{1}{48}$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 12 {(y + \frac{1}{24})}^{2} + \frac{1}{48}$ ein.

$- 12 {(y + \frac{1}{24})}^{2} + \frac{1}{48}$

Schritt 6

Setze $- 12 {(y + \frac{1}{24})}^{2} + \frac{1}{48}$ für $- 12 y^{2} - y$ ein in der Gleichung $12 x^{2} - 12 y^{2} + x - y = 3$ .

$12 {(x + \frac{1}{24})}^{2} - 12 {(y + \frac{1}{24})}^{2} + \frac{1}{48} = 3 + \frac{1}{48}$

Schritt 7

Bringe $\frac{1}{48}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{48}$ auf beiden Seiten.

$12 {(x + \frac{1}{24})}^{2} - 12 {(y + \frac{1}{24})}^{2} = 3 + \frac{1}{48} - \frac{1}{48}$

Schritt 8

Vereinfache $3 + \frac{1}{48} - \frac{1}{48}$ .

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Schritt 8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 {(x + \frac{1}{24})}^{2} - 12 {(y + \frac{1}{24})}^{2} = 3 + \frac{1 - 1}{48}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$12 {(x + \frac{1}{24})}^{2} - 12 {(y + \frac{1}{24})}^{2} = 3 + \frac{0}{48}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $0$ durch $48$ .

$12 {(x + \frac{1}{24})}^{2} - 12 {(y + \frac{1}{24})}^{2} = 3 + 0$

Schritt 8.2.3

Addiere $3$ und $0$ .

$12 {(x + \frac{1}{24})}^{2} - 12 {(y + \frac{1}{24})}^{2} = 3$

Schritt 9

Teile jeden Term durch $3$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{12 {(x + \frac{1}{24})}^{2}}{3} - \frac{12 {(y + \frac{1}{24})}^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + \frac{1}{24})}^{2}}{\frac{1}{4}} - \frac{{(y + \frac{1}{24})}^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$