Algebra Beispiele

${(x^{3} + 4 y)}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(x^{3})}^{4 - k} \cdot {(4 y)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(x^{3})}^{4 - 0} \cdot {(4 y)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(x^{3})}^{4 - 1} \cdot {(4 y)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(x^{3})}^{4 - 2} \cdot {(4 y)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(x^{3})}^{4 - 3} \cdot {(4 y)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(x^{3})}^{4 - 4} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(x^{3})}^{4} \cdot {(4 y)}^{0} + 4 \cdot {(x^{3})}^{3} \cdot {(4 y)}^{1} + 6 \cdot {(x^{3})}^{2} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x^{3})}^{4}$ mit $1$ .

${(x^{3})}^{4} \cdot {(4 y)}^{0} + 4 \cdot {(x^{3})}^{3} \cdot {(4 y)}^{1} + 6 \cdot {(x^{3})}^{2} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{4}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{3 \cdot 4} \cdot {(4 y)}^{0} + 4 \cdot {(x^{3})}^{3} \cdot {(4 y)}^{1} + 6 \cdot {(x^{3})}^{2} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x^{12} \cdot {(4 y)}^{0} + 4 \cdot {(x^{3})}^{3} \cdot {(4 y)}^{1} + 6 \cdot {(x^{3})}^{2} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $4 y$ an.

$x^{12} \cdot (4^{0} y^{0}) + 4 \cdot {(x^{3})}^{3} \cdot {(4 y)}^{1} + 6 \cdot {(x^{3})}^{2} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4^{0} x^{12} y^{0} + 4 \cdot {(x^{3})}^{3} \cdot {(4 y)}^{1} + 6 \cdot {(x^{3})}^{2} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 x^{12} y^{0} + 4 \cdot {(x^{3})}^{3} \cdot {(4 y)}^{1} + 6 \cdot {(x^{3})}^{2} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $x^{12}$ mit $1$ .

$x^{12} y^{0} + 4 \cdot {(x^{3})}^{3} \cdot {(4 y)}^{1} + 6 \cdot {(x^{3})}^{2} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{12} \cdot 1 + 4 \cdot {(x^{3})}^{3} \cdot {(4 y)}^{1} + 6 \cdot {(x^{3})}^{2} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $x^{12}$ mit $1$ .

$x^{12} + 4 \cdot {(x^{3})}^{3} \cdot {(4 y)}^{1} + 6 \cdot {(x^{3})}^{2} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.9

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{3}$ .

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Schritt 4.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{12} + 4 \cdot x^{3 \cdot 3} \cdot {(4 y)}^{1} + 6 \cdot {(x^{3})}^{2} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{12} + 4 \cdot x^{9} \cdot {(4 y)}^{1} + 6 \cdot {(x^{3})}^{2} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.10

Vereinfache.

$x^{12} + 4 x^{9} \cdot (4 y) + 6 \cdot {(x^{3})}^{2} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{12} + 4 \cdot 4 x^{9} y + 6 \cdot {(x^{3})}^{2} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x^{12} + 16 x^{9} y + 6 \cdot {(x^{3})}^{2} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.13

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 4.13.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{12} + 16 x^{9} y + 6 \cdot x^{3 \cdot 2} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.13.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x^{12} + 16 x^{9} y + 6 \cdot x^{6} \cdot {(4 y)}^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.14

Wende die Produktregel auf $4 y$ an.

$x^{12} + 16 x^{9} y + 6 x^{6} \cdot (4^{2} y^{2}) + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.15

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{12} + 16 x^{9} y + 6 \cdot 4^{2} x^{6} y^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.16

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{12} + 16 x^{9} y + 6 \cdot 16 x^{6} y^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere $6$ mit $16$ .

$x^{12} + 16 x^{9} y + 96 x^{6} y^{2} + 4 \cdot {(x^{3})}^{1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.18

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{1}$ .

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Schritt 4.18.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{12} + 16 x^{9} y + 96 x^{6} y^{2} + 4 \cdot x^{3 \cdot 1} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.18.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x^{12} + 16 x^{9} y + 96 x^{6} y^{2} + 4 \cdot x^{3} \cdot {(4 y)}^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.19

Wende die Produktregel auf $4 y$ an.

$x^{12} + 16 x^{9} y + 96 x^{6} y^{2} + 4 x^{3} \cdot (4^{3} y^{3}) + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.20

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{12} + 16 x^{9} y + 96 x^{6} y^{2} + 4 \cdot 4^{3} x^{3} y^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.21

Multipliziere $4$ mit $4^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.21.1

Mutltipliziere $4$ mit $4^{3}$ .

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Schritt 4.21.1.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$x^{12} + 16 x^{9} y + 96 x^{6} y^{2} + 4^{1} \cdot 4^{3} x^{3} y^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.21.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{12} + 16 x^{9} y + 96 x^{6} y^{2} + 4^{1 + 3} x^{3} y^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.21.2

Addiere $1$ und $3$ .

$x^{12} + 16 x^{9} y + 96 x^{6} y^{2} + 4^{4} x^{3} y^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.22

Potenziere $4$ mit $4$ .

$x^{12} + 16 x^{9} y + 96 x^{6} y^{2} + 256 x^{3} y^{3} + 1 \cdot {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.23

Mutltipliziere ${(x^{3})}^{0}$ mit $1$ .

$x^{12} + 16 x^{9} y + 96 x^{6} y^{2} + 256 x^{3} y^{3} + {(x^{3})}^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.24

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{0}$ .

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Schritt 4.24.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{12} + 16 x^{9} y + 96 x^{6} y^{2} + 256 x^{3} y^{3} + x^{3 \cdot 0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.24.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$x^{12} + 16 x^{9} y + 96 x^{6} y^{2} + 256 x^{3} y^{3} + x^{0} \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.25

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{12} + 16 x^{9} y + 96 x^{6} y^{2} + 256 x^{3} y^{3} + 1 \cdot {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.26

Mutltipliziere ${(4 y)}^{4}$ mit $1$ .

$x^{12} + 16 x^{9} y + 96 x^{6} y^{2} + 256 x^{3} y^{3} + {(4 y)}^{4}$

Schritt 4.27

Wende die Produktregel auf $4 y$ an.

$x^{12} + 16 x^{9} y + 96 x^{6} y^{2} + 256 x^{3} y^{3} + 4^{4} y^{4}$

Schritt 4.28

Potenziere $4$ mit $4$ .

$x^{12} + 16 x^{9} y + 96 x^{6} y^{2} + 256 x^{3} y^{3} + 256 y^{4}$