Algebra Beispiele

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{- 4 k - 12}{k^{2} - 9}$

Schritt 1

Vereinfache beide Seiten.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 k - 12$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 k$ heraus.

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- k) - 12}{k^{2} - 9}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- k) + 4 (- 3)}{k^{2} - 9}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- k) + 4 (- 3)$ heraus.

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- k - 3)}{k^{2} - 9}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- k - 3)}{k^{2} - 3^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = k$ und $b = 3$ .

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- k - 3)}{(k + 3) (k - 3)}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- k - 3$ und $k + 3$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- k$ heraus.

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- (k) - 3)}{(k + 3) (k - 3)}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- (k) - 1 (3))}{(k + 3) (k - 3)}$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (k) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- (k + 3))}{(k + 3) (k - 3)}$

Schritt 1.3.4

Schreibe $- (k + 3)$ als $- 1 (k + 3)$ um.

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- 1 (k + 3))}{(k + 3) (k - 3)}$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 (- 1 (k + 3))}{(k + 3) (k - 3)}$

Schritt 1.3.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{4 \cdot (- 1)}{k - 3}$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{k - 15}{k + 1} = \frac{- 4}{k - 3}$

Schritt 1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{k - 15}{k + 1} = - \frac{4}{k - 3}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$(k - 15) (k - 3) = (k + 1) \cdot - 4$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $k$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(k - 15) (k - 3)$ .

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Schritt 3.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (k - 15) (k - 3) = (k + 1) \cdot - 4$

Schritt 3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(k - 15) (k - 3) = (k + 1) \cdot - 4$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $(k - 15) (k - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k (k - 3) - 15 (k - 3) = (k + 1) \cdot - 4$

Schritt 3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$k \cdot k + k \cdot - 3 - 15 (k - 3) = (k + 1) \cdot - 4$

Schritt 3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$k \cdot k + k \cdot - 3 - 15 k - 15 \cdot - 3 = (k + 1) \cdot - 4$

Schritt 3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.4.1.1

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$k^{2} + k \cdot - 3 - 15 k - 15 \cdot - 3 = (k + 1) \cdot - 4$

Schritt 3.1.4.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $k$ .

$k^{2} - 3 \cdot k - 15 k - 15 \cdot - 3 = (k + 1) \cdot - 4$

Schritt 3.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 3$ .

$k^{2} - 3 k - 15 k + 45 = (k + 1) \cdot - 4$

Schritt 3.1.4.2

Subtrahiere $15 k$ von $- 3 k$ .

$k^{2} - 18 k + 45 = (k + 1) \cdot - 4$

Schritt 3.2

Vereinfache $(k + 1) \cdot - 4$ .

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k^{2} - 18 k + 45 = k \cdot - 4 + 1 \cdot - 4$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.1

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $k$ .

$k^{2} - 18 k + 45 = - 4 \cdot k + 1 \cdot - 4$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$k^{2} - 18 k + 45 = - 4 k - 4$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die $k$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Addiere $4 k$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$k^{2} - 18 k + 45 + 4 k = - 4$

Schritt 3.3.2

Addiere $- 18 k$ und $4 k$ .

$k^{2} - 14 k + 45 = - 4$

Schritt 3.4

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$k^{2} - 14 k + 45 + 4 = 0$

Schritt 3.5

Addiere $45$ und $4$ .

$k^{2} - 14 k + 49 = 0$

Schritt 3.6

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.6.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$k^{2} - 14 k + 7^{2} = 0$

Schritt 3.6.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$14 k = 2 \cdot k \cdot 7$

Schritt 3.6.3

Schreibe das Polynom neu.

$k^{2} - 2 \cdot k \cdot 7 + 7^{2} = 0$

Schritt 3.6.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = k$ und $b = 7$ .

${(k - 7)}^{2} = 0$

Schritt 3.7

Setze $k - 7$ gleich $0$ .

$k - 7 = 0$

Schritt 3.8

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$k = 7$