Algebra Beispiele

$\frac{x + 3}{4} + \frac{y - 1}{3} = 1$ , $2 x - y = 12$

Schritt 1

Bringe jede Ebenengleichung in die Koordinatenform.

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Schritt 1.1

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Um $\frac{x + 3}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} = 1, 2 x - y = 12$

Schritt 1.1.2

Um $\frac{y - 1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Schritt 1.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x + 3}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{y - 1}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{3 \cdot 4} = 1, 2 x - y = 12$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 3) \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Schritt 1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 3 + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Schritt 1.1.5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3 \cdot x + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Schritt 1.1.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 \cdot x + 9 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Schritt 1.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 9 + y \cdot 4 - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Schritt 1.1.5.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Schritt 1.1.5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Schritt 1.1.5.7

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$\frac{3 x + 4 y + 5}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Schritt 1.2

Zerlege den Bruch $\frac{3 x + 4 y + 5}{12}$ in zwei Brüche.

$\frac{3 x + 4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Schritt 1.3

Zerlege den Bruch $\frac{3 x + 4 y}{12}$ in zwei Brüche.

$\frac{3 x}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{3 (x)}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{x}{4} + \frac{4 (y)}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Schritt 1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Schritt 1.6

Subtrahiere $\frac{5}{12}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

Schritt 1.7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.7.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

Schritt 1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12 - 5}{12}, 2 x - y = 12$

Schritt 1.7.3

Subtrahiere $5$ von $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}, 2 x - y = 12$

Schritt 2

Um den Schnittpunkt der Geraden durch einen Punkt $(p, q, r)$ senkrecht zur Ebene $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ und Ebene $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ zu finden:

1. Finde die Normalvektoren von Ebene $P_{1}$ und Ebene $P_{2}$ , wobei die Normalvektoren $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ und $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ sind. Prüfe, ob das Skalarprodukt 0 ist.

2. Stelle einen Satz parametrischer Gleichungen auf, sodass $x = p + a t$ , $y = q + b t$ und $z = r + c t$ .

3. Setze diese Gleichungen in die Gleichung für die Ebene $P_{2}$ ein, sodass $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ und löse nach $t$ auf.

4. Löse die parametrischen Gleichungen $x = p + a t$ , $y = q + b t$ und $z = r + c t$ unter Verwendung des Wertes von $t$ nach $t$ auf, um den Schnittpunkt $(x, y, z)$ zu finden.

Schritt 3

Ermittle die Normalenvektoren für jede Ebene und stelle fest, ob sie senkrecht zueinander sind durch Berechnung des Skalarprodukts.

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Schritt 3.1

$P_{1}$ ist $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ . Finde den Normalvektor $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ der Ebenengleichung der Form $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, 0 ⟩$

Schritt 3.2

$P_{2}$ ist $2 x - y = 12$ . Finde den Normalvektor $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ der Ebenengleichung der Form $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 2, - 1, 0 ⟩$

Schritt 3.3

Berechne das Skalarprodukt von $n_{1}$ und $n_{2}$ , durch Summieren der Produkte der entsprechenden $x$ , $y$ und $z$ Werte in den Normalvektoren.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4

Vereinfache das Skalarprodukt.

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Schritt 3.4.1

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2 (2)} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{3} + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0$

Schritt 3.4.3

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + 0$

Schritt 3.4.4

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Schritt 3.4.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Schritt 3.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Schritt 3.4.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} + 0$

Schritt 3.4.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} + 0$

Schritt 3.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 2}{6} + 0$

Schritt 3.4.7

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{6} + 0$

Schritt 3.4.8

Addiere $\frac{1}{6}$ und $0$ .

$\frac{1}{6}$

Schritt 4

Als Nächstes erzeuge einen Satz parametrischer Gleichungen $x = p + a t$ , $y = q + b t$ und $z = r + c t$ unter Verwendung des Ursprungs $(0, 0, 0)$ für den Punkt $(p, q, r)$ und der Werte des Normalenvektors $\frac{1}{6}$ für die Werte von $a$ , $b$ und $c$ . Dieser Satz Parameterdarstellungen stellt die Gerade durch den Ursprung dar, die senkrecht auf $P_{1}$ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ steht.

$x = 0 + \frac{1}{4} t$

$y = 0 + \frac{1}{3} t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Schritt 5

Setze den Ausdruck für $x$ , $y$ und $z$ in die Gleichung für $P_{2}$ , $2 x - y = 12$ , ein.

$2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $t$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

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Schritt 6.1.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

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Schritt 6.1.1.1

Addiere $0$ und $\frac{1}{4} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

Schritt 6.1.1.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{3} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (\frac{1}{3} t) = 12$

Schritt 6.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $t$ .

$2 \frac{t}{4} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \frac{t}{2 (2)} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Schritt 6.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{t}{2 \cdot 2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Schritt 6.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Schritt 6.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t$ .

$\frac{t}{2} - \frac{t}{3} = 12$

Schritt 6.1.3

Um $\frac{t}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} = 12$

Schritt 6.1.4

Um $- \frac{t}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Schritt 6.1.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{t}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Schritt 6.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Schritt 6.1.5.3

Mutltipliziere $\frac{t}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{3 \cdot 2} = 12$

Schritt 6.1.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{6} = 12$

Schritt 6.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{t \cdot 3 - t \cdot 2}{6} = 12$

Schritt 6.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot 3 - t \cdot 2$ heraus.

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Schritt 6.1.7.1.1

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot 3$ heraus.

$\frac{t (3) - t \cdot 2}{6} = 12$

Schritt 6.1.7.1.2

Faktorisiere $t$ aus $- t \cdot 2$ heraus.

$\frac{t (3) + t (- 1 \cdot 2)}{6} = 12$

Schritt 6.1.7.1.3

Faktorisiere $t$ aus $t (3) + t (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{t (3 - 1 \cdot 2)}{6} = 12$

Schritt 6.1.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{t (3 - 2)}{6} = 12$

Schritt 6.1.7.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{t \cdot 1}{6} = 12$

Schritt 6.1.8

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t}{6} = 12$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $6$ .

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

Schritt 6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

Schritt 6.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$t = 6 \cdot 12$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $12$ .

$t = 72$

Schritt 7

Löse die parametrischen Gleichungen nach $x$ , $y$ und $z$ auf durch Verwendung des Wertes von $t$ .

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Schritt 7.1

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere $\frac{1}{4}$ mit $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot 72$

Schritt 7.1.2

Entferne die Klammern.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$

Schritt 7.1.3

Vereinfache $0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$ .

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Schritt 7.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.1.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $72$ heraus.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 (18))$

Schritt 7.1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 18)$

Schritt 7.1.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 0 + 18$

Schritt 7.1.3.2

Addiere $0$ und $18$ .

$x = 18$

Schritt 7.2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere $\frac{1}{3}$ mit $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot 72$

Schritt 7.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$

Schritt 7.2.3

Vereinfache $0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$ .

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $72$ heraus.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 (24))$

Schritt 7.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

Schritt 7.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 0 + 24$

Schritt 7.2.3.2

Addiere $0$ und $24$ .

$y = 24$

Schritt 7.3

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 7.3.1

Entferne die Klammern.

$z = 0 + 0 \cdot (72)$

Schritt 7.3.2

Vereinfache $0 + 0 \cdot (72)$ .

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Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $72$ .

$z = 0 + 0$

Schritt 7.3.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$z = 0$

Schritt 7.4

Die gelösten parametrischen Gleichungen für $x$ , $y$ und $z$ .

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

Schritt 8

Die für $x$ , $y$ und $z$ berechneten Wertte anwenden, der Schnittpunkt ist $(18, 24, 0)$ .

$(18, 24, 0)$