Algebra Beispiele

$f (x) = x^{5} - 3 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$f (x) = x^{5} - 5 x^{2} - 6 x - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Schritt 2

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - 5 x^{2} - 6 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$f (x) = x \cdot x^{4} - 5 x^{2} - 6 x - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$f (x) = x \cdot x^{4} + x (- 5 x) - 6 x - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 6 x$ heraus.

$f (x) = x \cdot x^{4} + x (- 5 x) + x \cdot - 6 - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Schritt 2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (- 5 x)$ heraus.

$f (x) = x (x^{4} - 5 x) + x \cdot - 6 - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Schritt 2.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} - 5 x) + x \cdot - 6$ heraus.

$f (x) = x (x^{4} - 5 x - 6) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{4} - 5 x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$f (x) = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 3.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$f (x) = {(- 1)}^{4} - 5 \cdot - 1 - 6$

Schritt 3.3.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (x) = 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$f (x) = 1 + 5 - 6$

Schritt 3.3.4

Addiere $1$ und $5$ .

$f (x) = 6 - 6$

Schritt 3.3.5

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f (x) = 0$

Schritt 3.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$f (x) = \frac{x^{4} - 5 x - 6}{x + 1}$

Schritt 3.5

Dividiere $x^{4} - 5 x - 6$ durch $x + 1$ .

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Schritt 3.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$f (x) =$

Schritt 3.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 3.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 3.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + x^{3}$

$f (x) =$

Schritt 3.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 3.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 3.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 3.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 3.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} - x^{2}$

$f (x) =$

Schritt 3.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 3.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 3.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 3.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 3.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + x$

$f (x) =$

Schritt 3.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 3.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 3.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 3.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 3.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x - 6$

$f (x) =$

Schritt 3.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 3.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$f (x) = x^{3} - x^{2} + x - 6$

Schritt 3.6

Schreibe $x^{4} - 5 x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$f (x) = x ((x + 1) (x^{3} - x^{2} + x - 6)) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x^{3} - x^{2} + x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x^{3} - x^{2} + x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 4.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 4.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$f (x) = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 4.1.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$f (x) = 2^{3} - 2^{2} + 2 - 6$

Schritt 4.1.1.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (x) = 8 - 2^{2} + 2 - 6$

Schritt 4.1.1.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (x) = 8 - 1 \cdot 4 + 2 - 6$

Schritt 4.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (x) = 8 - 4 + 2 - 6$

Schritt 4.1.1.3.5

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$f (x) = 4 + 2 - 6$

Schritt 4.1.1.3.6

Addiere $4$ und $2$ .

$f (x) = 6 - 6$

Schritt 4.1.1.3.7

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f (x) = 0$

Schritt 4.1.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} + x - 6}{x - 2}$

Schritt 4.1.1.5

Dividiere $x^{3} - x^{2} + x - 6$ durch $x - 2$ .

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Schritt 4.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$f (x) =$

Schritt 4.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 4.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 4.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 2 x^{2}$

$f (x) =$

Schritt 4.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 4.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 4.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 4.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 4.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} - 2 x$

$f (x) =$

Schritt 4.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 4.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 4.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 4.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 4.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x - 6$

$f (x) =$

Schritt 4.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 4.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$f (x) = x^{2} + x + 3$

Schritt 4.1.1.6

Schreibe $x^{3} - x^{2} + x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$f (x) = x ((x + 1) ((x - 2) (x^{2} + x + 3))) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Schritt 4.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = x ((x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3)) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Schritt 5

Faktorisiere $- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 5.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 5.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Schritt 5.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$f (x) = - 3 {(- 1)}^{4} + 5 {(- 1)}^{3} + 8$

Schritt 5.3.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (x) = - 3 \cdot 1 + 5 {(- 1)}^{3} + 8$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f (x) = - 3 + 5 {(- 1)}^{3} + 8$

Schritt 5.3.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (x) = - 3 + 5 \cdot - 1 + 8$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f (x) = - 3 - 5 + 8$

Schritt 5.3.6

Subtrahiere $5$ von $- 3$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Schritt 5.3.7

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f (x) = 0$

Schritt 5.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$f (x) = \frac{- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8}{x + 1}$

Schritt 5.5

Dividiere $- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$ durch $x + 1$ .

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Schritt 5.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$f (x) =$

Schritt 5.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 5.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 5.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{4} - 3 x^{3}$

$f (x) =$

Schritt 5.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 5.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 5.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $8 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 5.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 5.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $8 x^{3} + 8 x^{2}$

$f (x) =$

Schritt 5.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 5.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 5.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 5.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 5.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x^{2} - 8 x$

$f (x) =$

Schritt 5.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 5.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 5.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $8 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 5.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 5.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $8 x + 8$

$f (x) =$

Schritt 5.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 5.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$f (x) = - 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$

Schritt 5.6

Schreibe $- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$ als eine Menge von Faktoren.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) (- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8)$

Schritt 6

Faktorisiere $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 6.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 6.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Schritt 6.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 6.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$f (x) = - 3 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 8$

Schritt 6.1.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (x) = - 3 \cdot 8 + 8 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 8$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$f (x) = - 24 + 8 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 8$

Schritt 6.1.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (x) = - 24 + 8 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 8$

Schritt 6.1.3.5

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$f (x) = - 24 + 32 - 8 \cdot 2 + 8$

Schritt 6.1.3.6

Addiere $- 24$ und $32$ .

$f (x) = 8 - 8 \cdot 2 + 8$

Schritt 6.1.3.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$f (x) = 8 - 16 + 8$

Schritt 6.1.3.8

Subtrahiere $16$ von $8$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Schritt 6.1.3.9

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f (x) = 0$

Schritt 6.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$f (x) = \frac{- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8}{x - 2}$

Schritt 6.1.5

Dividiere $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ durch $x - 2$ .

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Schritt 6.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$f (x) =$

Schritt 6.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 6.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 6.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{3} + 6 x^{2}$

$f (x) =$

Schritt 6.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 6.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 6.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 6.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 6.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{2} - 4 x$

$f (x) =$

Schritt 6.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 6.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 6.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 6.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 6.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x + 8$

$f (x) =$

Schritt 6.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 6.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$f (x) = - 3 x^{2} + 2 x - 4$

Schritt 6.1.6

Schreibe $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ als eine Menge von Faktoren.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) ((x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4))$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Schritt 7

Faktorisiere $(x + 1) (x - 2)$ aus $x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Faktorisiere $(x + 1) (x - 2)$ aus $x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3)$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) ((x) (x^{2} + x + 3)) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $(x + 1) (x - 2)$ aus $(x + 1) (x - 2) ((x) (x^{2} + x + 3)) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$ heraus.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) ((x) (x^{2} + x + 3) - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 9.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Schritt 9.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Schritt 9.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x^{2} + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Schritt 9.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 3 \cdot x - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 3 x - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Schritt 10

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2 x - 4)$

Schritt 11

Addiere $3 x$ und $2 x$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4)$

Schritt 12

Faktorisiere.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 12.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 12.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$f (x) = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 12.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 12.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$f (x) = 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 4$

Schritt 12.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$f (x) = 1 - 2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 4$

Schritt 12.1.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$f (x) = 1 - 2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 4$

Schritt 12.1.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (x) = 1 - 2 + 5 \cdot 1 - 4$

Schritt 12.1.3.5

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (x) = - 1 + 5 \cdot 1 - 4$

Schritt 12.1.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f (x) = - 1 + 5 - 4$

Schritt 12.1.3.7

Addiere $- 1$ und $5$ .

$f (x) = 4 - 4$

Schritt 12.1.3.8

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (x) = 0$

Schritt 12.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4}{x - 1}$

Schritt 12.1.5

Dividiere $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$ durch $x - 1$ .

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Schritt 12.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$f (x) =$

Schritt 12.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 12.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 12.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

$f (x) =$

Schritt 12.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 12.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 12.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 12.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 12.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} + x$

$f (x) =$

Schritt 12.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 12.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 12.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 12.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 12.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x - 4$

$f (x) =$

Schritt 12.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 12.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$f (x) = x^{2} - x + 4$

Schritt 12.1.6

Schreibe $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$ als eine Menge von Faktoren.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} - x + 4))$

Schritt 12.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x - 1) (x^{2} - x + 4)$