Algebra Beispiele

$y = - x^{6} - 6 x^{5} + 50 x^{3} + 45 x^{2} - 108 x - 108$

Schritt 1

Schreibe $y = - x^{6} - 6 x^{5} + 50 x^{3} + 45 x^{2} - 108 x - 108$ als Funktion.

$f (x) = - x^{6} - 6 x^{5} + 50 x^{3} + 45 x^{2} - 108 x - 108$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{6} - 6 x^{5} + 50 x^{3} + 45 x^{2} - 108 x - 108$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [50 x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [50 x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{6}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [50 x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$- (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [50 x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [50 x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 6 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [50 x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 6 x^{5} - 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [50 x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 6$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + \frac{d}{d x} [50 x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [50 x^{3}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $50$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $50 x^{3}$ nach $x$ gleich $50 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 50 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 50 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $50$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [45 x^{2}]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $45$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $45 x^{2}$ nach $x$ gleich $45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 45 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 45 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $45$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x + \frac{d}{d x} [- 108 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Schritt 2.6

Berechne $\frac{d}{d x} [- 108 x]$ .

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Schritt 2.6.1

Da $- 108$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 108 x$ nach $x$ gleich $- 108 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 108]$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 108]$

Schritt 2.6.3

Mutltipliziere $- 108$ mit $1$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 + \frac{d}{d x} [- 108]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.7.1

Da $- 108$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 108$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 + 0$

Schritt 2.7.2

Addiere $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ und $0$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [150 x^{2}] + \frac{d}{d x} [90 x] + \frac{d}{d x} [- 108]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (150 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (150 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f'' (x) = - 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (150 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (150 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 30 x^{4}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 30 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 30 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (150 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (150 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 30$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + \frac{d}{d x} (150 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [150 x^{2}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $150$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $150 x^{2}$ nach $x$ gleich $150 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + 150 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + 150 (2 x) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $150$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + 300 x + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [90 x]$ .

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Schritt 3.5.1

Da $90$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $90 x$ nach $x$ gleich $90 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + 300 x + 90 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + 300 x + 90 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $90$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + 300 x + 90 + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.6.1

Da $- 108$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 108$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + 300 x + 90 + 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $- 30 x^{4} - 120 x^{3} + 300 x + 90$ und $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} - 120 x^{3} + 300 x + 90$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (50 x^{3}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{6}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{6} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (50 x^{3}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$f' (x) = - (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (50 x^{3}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (50 x^{3}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (50 x^{3}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (50 x^{3}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 6$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (50 x^{3}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 5.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [50 x^{3}]$ .

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Schritt 5.1.4.1

Da $50$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $50 x^{3}$ nach $x$ gleich $50 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 50 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 5.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 50 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $50$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 5.1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [45 x^{2}]$ .

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Schritt 5.1.5.1

Da $45$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $45 x^{2}$ nach $x$ gleich $45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 45 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 5.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 45 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 5.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $45$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x + \frac{d}{d x} (- 108 x) + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 5.1.6

Berechne $\frac{d}{d x} [- 108 x]$ .

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Schritt 5.1.6.1

Da $- 108$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 108 x$ nach $x$ gleich $- 108 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 5.1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 5.1.6.3

Mutltipliziere $- 108$ mit $1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 + \frac{d}{d x} (- 108)$

Schritt 5.1.7

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.7.1

Da $- 108$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 108$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 + 0$

Schritt 5.1.7.2

Addiere $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ und $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ heraus.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x^{5}$ heraus.

$6 (- x^{5}) - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108 = 0$

Schritt 6.2.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 30 x^{4}$ heraus.

$6 (- x^{5}) + 6 (- 5 x^{4}) + 150 x^{2} + 90 x - 108 = 0$

Schritt 6.2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $150 x^{2}$ heraus.

$6 (- x^{5}) + 6 (- 5 x^{4}) + 6 (25 x^{2}) + 90 x - 108 = 0$

Schritt 6.2.1.4

Faktorisiere $6$ aus $90 x$ heraus.

$6 (- x^{5}) + 6 (- 5 x^{4}) + 6 (25 x^{2}) + 6 (15 x) - 108 = 0$

Schritt 6.2.1.5

Faktorisiere $6$ aus $- 108$ heraus.

$6 (- x^{5}) + 6 (- 5 x^{4}) + 6 (25 x^{2}) + 6 (15 x) + 6 (- 18) = 0$

Schritt 6.2.1.6

Faktorisiere $6$ aus $6 (- x^{5}) + 6 (- 5 x^{4})$ heraus.

$6 (- x^{5} - 5 x^{4}) + 6 (25 x^{2}) + 6 (15 x) + 6 (- 18) = 0$

Schritt 6.2.1.7

Faktorisiere $6$ aus $6 (- x^{5} - 5 x^{4}) + 6 (25 x^{2})$ heraus.

$6 (- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2}) + 6 (15 x) + 6 (- 18) = 0$

Schritt 6.2.1.8

Faktorisiere $6$ aus $6 (- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2}) + 6 (15 x)$ heraus.

$6 (- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 15 x) + 6 (- 18) = 0$

Schritt 6.2.1.9

Faktorisiere $6$ aus $6 (- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 15 x) + 6 (- 18)$ heraus.

$6 (- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 15 x - 18) = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 15 x - 18$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Schritt 6.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Schritt 6.2.2.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$- 2^{5} - 5 \cdot 2^{4} + 25 \cdot 2^{2} + 15 \cdot 2 - 18$

Schritt 6.2.2.3.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$- 1 \cdot 32 - 5 \cdot 2^{4} + 25 \cdot 2^{2} + 15 \cdot 2 - 18$

Schritt 6.2.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$- 32 - 5 \cdot 2^{4} + 25 \cdot 2^{2} + 15 \cdot 2 - 18$

Schritt 6.2.2.3.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$- 32 - 5 \cdot 16 + 25 \cdot 2^{2} + 15 \cdot 2 - 18$

Schritt 6.2.2.3.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $16$ .

$- 32 - 80 + 25 \cdot 2^{2} + 15 \cdot 2 - 18$

Schritt 6.2.2.3.6

Subtrahiere $80$ von $- 32$ .

$- 112 + 25 \cdot 2^{2} + 15 \cdot 2 - 18$

Schritt 6.2.2.3.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 112 + 25 \cdot 4 + 15 \cdot 2 - 18$

Schritt 6.2.2.3.8

Mutltipliziere $25$ mit $4$ .

$- 112 + 100 + 15 \cdot 2 - 18$

Schritt 6.2.2.3.9

Addiere $- 112$ und $100$ .

$- 12 + 15 \cdot 2 - 18$

Schritt 6.2.2.3.10

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$- 12 + 30 - 18$

Schritt 6.2.2.3.11

Addiere $- 12$ und $30$ .

$18 - 18$

Schritt 6.2.2.3.12

Subtrahiere $18$ von $18$ .

$0$

Schritt 6.2.2.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 15 x - 18}{x - 2}$

Schritt 6.2.2.5

Dividiere $- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 15 x - 18$ durch $x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

Schritt 6.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{4}$
	$x$	-	$2$	-	$x^{5}$	-	$5 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$

Schritt 6.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

Schritt 6.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{5} + 2 x^{4}$

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

Schritt 6.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

Schritt 6.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

Schritt 6.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 7 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

Schritt 6.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

Schritt 6.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 7 x^{4} + 14 x^{3}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

Schritt 6.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

Schritt 6.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 14 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 14 x^{3} + 28 x^{2}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

Schritt 6.2.2.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

Schritt 6.2.2.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

Schritt 6.2.2.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{2} + 6 x$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

Schritt 6.2.2.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$9 x$

Schritt 6.2.2.5.21

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$9 x$

$18$

Schritt 6.2.2.5.22

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $9 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$9 x$

$18$

Schritt 6.2.2.5.23

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$9 x$

$18$

$9 x$

$18$

Schritt 6.2.2.5.24

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $9 x - 18$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$9 x$

$18$

$9 x$

$18$

Schritt 6.2.2.5.25

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$25 x^{2}$

$15 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$25 x^{2}$

$14 x^{3}$

$28 x^{2}$

$3 x^{2}$

$15 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$9 x$

$18$

$9 x$

$18$

$0$

Schritt 6.2.2.5.26

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{4} - 7 x^{3} - 14 x^{2} - 3 x + 9$

Schritt 6.2.2.6

Schreibe $- x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 15 x - 18$ als eine Menge von Faktoren.

$6 ((x - 2) (- x^{4} - 7 x^{3} - 14 x^{2} - 3 x + 9)) = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $- x^{4} - 7 x^{3} - 14 x^{2} - 3 x + 9$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 6.2.3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 9, \pm 3$

Schritt 6.2.3.3

Setze $- 3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 3$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.3.1

Setze $- 3$ in das Polynom ein.

$- {(- 3)}^{4} - 7 {(- 3)}^{3} - 14 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 9$

Schritt 6.2.3.3.2

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$- 1 \cdot 81 - 7 {(- 3)}^{3} - 14 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 9$

Schritt 6.2.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$- 81 - 7 {(- 3)}^{3} - 14 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 9$

Schritt 6.2.3.3.4

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$- 81 - 7 \cdot - 27 - 14 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 9$

Schritt 6.2.3.3.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 27$ .

$- 81 + 189 - 14 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 9$

Schritt 6.2.3.3.6

Addiere $- 81$ und $189$ .

$108 - 14 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 9$

Schritt 6.2.3.3.7

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$108 - 14 \cdot 9 - 3 \cdot - 3 + 9$

Schritt 6.2.3.3.8

Mutltipliziere $- 14$ mit $9$ .

$108 - 126 - 3 \cdot - 3 + 9$

Schritt 6.2.3.3.9

Subtrahiere $126$ von $108$ .

$- 18 - 3 \cdot - 3 + 9$

Schritt 6.2.3.3.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$- 18 + 9 + 9$

Schritt 6.2.3.3.11

Addiere $- 18$ und $9$ .

$- 9 + 9$

Schritt 6.2.3.3.12

Addiere $- 9$ und $9$ .

$0$

Schritt 6.2.3.4

Da $- 3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{4} - 7 x^{3} - 14 x^{2} - 3 x + 9}{x + 3}$

Schritt 6.2.3.5

Dividiere $- x^{4} - 7 x^{3} - 14 x^{2} - 3 x + 9$ durch $x + 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

Schritt 6.2.3.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{3}$
	$x$	+	$3$	-	$x^{4}$	-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	-	$3 x$	+	$9$

Schritt 6.2.3.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{3}$
$x$	+	$3$	-	$x^{4}$	-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	-	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$

Schritt 6.2.3.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{4} - 3 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Schritt 6.2.3.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

Schritt 6.2.3.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

Schritt 6.2.3.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$x^{4}$	-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	-	$3 x$	+	$9$
			+	$x^{4}$	+	$3 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$

Schritt 6.2.3.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$x^{4}$	-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	-	$3 x$	+	$9$
			+	$x^{4}$	+	$3 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Schritt 6.2.3.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{3} - 12 x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

Schritt 6.2.3.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

Schritt 6.2.3.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

Schritt 6.2.3.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

Schritt 6.2.3.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

Schritt 6.2.3.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} - 6 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

Schritt 6.2.3.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$3 x$

Schritt 6.2.3.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$3 x$

$9$

Schritt 6.2.3.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$3 x$

$9$

Schritt 6.2.3.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$3 x$

$9$

$3 x$

$9$

Schritt 6.2.3.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x + 9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$3 x$

$9$

$3 x$

$9$

Schritt 6.2.3.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x$

$3$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$3 x$

$9$

$3 x$

$9$

$0$

Schritt 6.2.3.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 3$

Schritt 6.2.3.6

Schreibe $- x^{4} - 7 x^{3} - 14 x^{2} - 3 x + 9$ als eine Menge von Faktoren.

$6 ((x - 2) ((x + 3) (- x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 3))) = 0$

Schritt 6.2.4

Faktorisiere $- x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 3$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Faktorisiere $- x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 3$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 6.2.4.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 3$

Schritt 6.2.4.1.3

Setze $- 3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 3$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.3.1

Setze $- 3$ in das Polynom ein.

$- {(- 3)}^{3} - 4 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Schritt 6.2.4.1.3.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$- - 27 - 4 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Schritt 6.2.4.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 27$ .

$27 - 4 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Schritt 6.2.4.1.3.4

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$27 - 4 \cdot 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Schritt 6.2.4.1.3.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$27 - 36 - 2 \cdot - 3 + 3$

Schritt 6.2.4.1.3.6

Subtrahiere $36$ von $27$ .

$- 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Schritt 6.2.4.1.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$- 9 + 6 + 3$

Schritt 6.2.4.1.3.8

Addiere $- 9$ und $6$ .

$- 3 + 3$

Schritt 6.2.4.1.3.9

Addiere $- 3$ und $3$ .

$0$

Schritt 6.2.4.1.4

Da $- 3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Schritt 6.2.4.1.5

Dividiere $- x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 3$ durch $x + 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$3$

Schritt 6.2.4.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$

Schritt 6.2.4.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 6.2.4.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} - 3 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 6.2.4.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Schritt 6.2.4.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 6.2.4.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 6.2.4.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 6.2.4.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} - 3 x$

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 6.2.4.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$

Schritt 6.2.4.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$3$

Schritt 6.2.4.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$3$

Schritt 6.2.4.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$3$
							+	$x$	+	$3$

Schritt 6.2.4.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 3$

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$3$
							-	$x$	-	$3$

Schritt 6.2.4.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$3$
							-	$x$	-	$3$
										$0$

Schritt 6.2.4.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} - x + 1$

Schritt 6.2.4.1.6

Schreibe $- x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 3$ als eine Menge von Faktoren.

$6 ((x - 2) ((x + 3) ((x + 3) (- x^{2} - x + 1)))) = 0$

Schritt 6.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 ((x - 2) ((x + 3) (x + 3) (- x^{2} - x + 1))) = 0$

Schritt 6.2.5

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1.1

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1.1.1

Potenziere $x + 3$ mit $1$ .

$6 ((x - 2) ((x + 3) (x + 3) (- x^{2} - x + 1))) = 0$

Schritt 6.2.5.1.1.2

Potenziere $x + 3$ mit $1$ .

$6 ((x - 2) ((x + 3) (x + 3) (- x^{2} - x + 1))) = 0$

Schritt 6.2.5.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 ((x - 2) ({(x + 3)}^{1 + 1} (- x^{2} - x + 1))) = 0$

Schritt 6.2.5.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$6 ((x - 2) ({(x + 3)}^{2} (- x^{2} - x + 1))) = 0$

Schritt 6.2.5.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 ((x - 2) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - x + 1)) = 0$

Schritt 6.2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 (x - 2) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - x + 1) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$- x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 6.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6.5

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 6.5.2

Löse ${(x + 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 6.5.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6.6

Setze $- x^{2} - x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Setze $- x^{2} - x + 1$ gleich $0$ .

$- x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 6.6.2

Löse $- x^{2} - x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.6.2.2

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.2.3.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 6.6.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.2.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.2.4.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 6.6.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.2.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.2.5.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 6.6.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 (x - 2) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 3, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 2, - 3, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 30 {(2)}^{4} - 120 {(2)}^{3} + 300 (2) + 90$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$- 30 \cdot 16 - 120 {(2)}^{3} + 300 (2) + 90$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 30$ mit $16$ .

$- 480 - 120 {(2)}^{3} + 300 (2) + 90$

Schritt 10.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- 480 - 120 \cdot 8 + 300 (2) + 90$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $- 120$ mit $8$ .

$- 480 - 960 + 300 (2) + 90$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $300$ mit $2$ .

$- 480 - 960 + 600 + 90$

Schritt 10.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $960$ von $- 480$ .

$- 1440 + 600 + 90$

Schritt 10.2.2

Addiere $- 1440$ und $600$ .

$- 840 + 90$

Schritt 10.2.3

Addiere $- 840$ und $90$ .

$- 750$

Schritt 11

$x = 2$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - {(2)}^{6} - 6 {(2)}^{5} + 50 {(2)}^{3} + 45 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 - 108$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Potenziere $2$ mit $6$ .

$f (2) = - 1 \cdot 64 - 6 {(2)}^{5} + 50 {(2)}^{3} + 45 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 - 108$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$f (2) = - 64 - 6 {(2)}^{5} + 50 {(2)}^{3} + 45 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 - 108$

Schritt 12.2.1.3

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (2) = - 64 - 6 \cdot 32 + 50 {(2)}^{3} + 45 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 - 108$

Schritt 12.2.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $32$ .

$f (2) = - 64 - 192 + 50 {(2)}^{3} + 45 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 - 108$

Schritt 12.2.1.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = - 64 - 192 + 50 \cdot 8 + 45 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 - 108$

Schritt 12.2.1.6

Mutltipliziere $50$ mit $8$ .

$f (2) = - 64 - 192 + 400 + 45 {(2)}^{2} - 108 \cdot 2 - 108$

Schritt 12.2.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = - 64 - 192 + 400 + 45 \cdot 4 - 108 \cdot 2 - 108$

Schritt 12.2.1.8

Mutltipliziere $45$ mit $4$ .

$f (2) = - 64 - 192 + 400 + 180 - 108 \cdot 2 - 108$

Schritt 12.2.1.9

Mutltipliziere $- 108$ mit $2$ .

$f (2) = - 64 - 192 + 400 + 180 - 216 - 108$

Schritt 12.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 12.2.2.1

Subtrahiere $192$ von $- 64$ .

$f (2) = - 256 + 400 + 180 - 216 - 108$

Schritt 12.2.2.2

Addiere $- 256$ und $400$ .

$f (2) = 144 + 180 - 216 - 108$

Schritt 12.2.2.3

Addiere $144$ und $180$ .

$f (2) = 324 - 216 - 108$

Schritt 12.2.2.4

Subtrahiere $216$ von $324$ .

$f (2) = 108 - 108$

Schritt 12.2.2.5

Subtrahiere $108$ von $108$ .

$f (2) = 0$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 3$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 30 {(- 3)}^{4} - 120 {(- 3)}^{3} + 300 (- 3) + 90$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$- 30 \cdot 81 - 120 {(- 3)}^{3} + 300 (- 3) + 90$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $- 30$ mit $81$ .

$- 2430 - 120 {(- 3)}^{3} + 300 (- 3) + 90$

Schritt 14.1.3

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$- 2430 - 120 \cdot - 27 + 300 (- 3) + 90$

Schritt 14.1.4

Mutltipliziere $- 120$ mit $- 27$ .

$- 2430 + 3240 + 300 (- 3) + 90$

Schritt 14.1.5

Mutltipliziere $300$ mit $- 3$ .

$- 2430 + 3240 - 900 + 90$

Schritt 14.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 14.2.1

Addiere $- 2430$ und $3240$ .

$810 - 900 + 90$

Schritt 14.2.2

Subtrahiere $900$ von $810$ .

$- 90 + 90$

Schritt 14.2.3

Addiere $- 90$ und $90$ .

$0$

Schritt 15

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 15.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 15.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 6$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die erste Ableitung $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f' (- 6) = - 6 {(- 6)}^{5} - 30 {(- 6)}^{4} + 150 {(- 6)}^{2} + 90 (- 6) - 108$

Schritt 15.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.2.1.1

Multipliziere $- 6$ mit ${(- 6)}^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 6$ mit ${(- 6)}^{5}$ .

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Schritt 15.2.2.1.1.1.1

Potenziere $- 6$ mit $1$ .

$f' (- 6) = (- 6) {(- 6)}^{5} - 30 {(- 6)}^{4} + 150 {(- 6)}^{2} + 90 (- 6) - 108$

Schritt 15.2.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 6) = {(- 6)}^{1 + 5} - 30 {(- 6)}^{4} + 150 {(- 6)}^{2} + 90 (- 6) - 108$

Schritt 15.2.2.1.1.2

Addiere $1$ und $5$ .

$f' (- 6) = {(- 6)}^{6} - 30 {(- 6)}^{4} + 150 {(- 6)}^{2} + 90 (- 6) - 108$

Schritt 15.2.2.1.2

Potenziere $- 6$ mit $6$ .

$f' (- 6) = 46656 - 30 {(- 6)}^{4} + 150 {(- 6)}^{2} + 90 (- 6) - 108$

Schritt 15.2.2.1.3

Potenziere $- 6$ mit $4$ .

$f' (- 6) = 46656 - 30 \cdot 1296 + 150 {(- 6)}^{2} + 90 (- 6) - 108$

Schritt 15.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 30$ mit $1296$ .

$f' (- 6) = 46656 - 38880 + 150 {(- 6)}^{2} + 90 (- 6) - 108$

Schritt 15.2.2.1.5

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f' (- 6) = 46656 - 38880 + 150 \cdot 36 + 90 (- 6) - 108$

Schritt 15.2.2.1.6

Mutltipliziere $150$ mit $36$ .

$f' (- 6) = 46656 - 38880 + 5400 + 90 (- 6) - 108$

Schritt 15.2.2.1.7

Mutltipliziere $90$ mit $- 6$ .

$f' (- 6) = 46656 - 38880 + 5400 - 540 - 108$

Schritt 15.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 15.2.2.2.1

Subtrahiere $38880$ von $46656$ .

$f' (- 6) = 7776 + 5400 - 540 - 108$

Schritt 15.2.2.2.2

Addiere $7776$ und $5400$ .

$f' (- 6) = 13176 - 540 - 108$

Schritt 15.2.2.2.3

Subtrahiere $540$ von $13176$ .

$f' (- 6) = 12636 - 108$

Schritt 15.2.2.2.4

Subtrahiere $108$ von $12636$ .

$f' (- 6) = 12528$

Schritt 15.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $12528$ .

$12528$

Schritt 15.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- 3, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$ in die erste Ableitung $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - 6 {(- 2)}^{5} - 30 {(- 2)}^{4} + 150 {(- 2)}^{2} + 90 (- 2) - 108$

Schritt 15.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.3.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$f' (- 2) = - 6 \cdot - 32 - 30 {(- 2)}^{4} + 150 {(- 2)}^{2} + 90 (- 2) - 108$

Schritt 15.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 32$ .

$f' (- 2) = 192 - 30 {(- 2)}^{4} + 150 {(- 2)}^{2} + 90 (- 2) - 108$

Schritt 15.3.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f' (- 2) = 192 - 30 \cdot 16 + 150 {(- 2)}^{2} + 90 (- 2) - 108$

Schritt 15.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 30$ mit $16$ .

$f' (- 2) = 192 - 480 + 150 {(- 2)}^{2} + 90 (- 2) - 108$

Schritt 15.3.2.1.5

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = 192 - 480 + 150 \cdot 4 + 90 (- 2) - 108$

Schritt 15.3.2.1.6

Mutltipliziere $150$ mit $4$ .

$f' (- 2) = 192 - 480 + 600 + 90 (- 2) - 108$

Schritt 15.3.2.1.7

Mutltipliziere $90$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = 192 - 480 + 600 - 180 - 108$

Schritt 15.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.3.2.2.1

Subtrahiere $480$ von $192$ .

$f' (- 2) = - 288 + 600 - 180 - 108$

Schritt 15.3.2.2.2

Addiere $- 288$ und $600$ .

$f' (- 2) = 312 - 180 - 108$

Schritt 15.3.2.2.3

Subtrahiere $180$ von $312$ .

$f' (- 2) = 132 - 108$

Schritt 15.3.2.2.4

Subtrahiere $108$ von $132$ .

$f' (- 2) = 24$

Schritt 15.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $24$ .

$24$

Schritt 15.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ in die erste Ableitung $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = - 6 {(0)}^{5} - 30 {(0)}^{4} + 150 {(0)}^{2} + 90 (0) - 108$

Schritt 15.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = - 6 \cdot 0 - 30 {(0)}^{4} + 150 {(0)}^{2} + 90 (0) - 108$

Schritt 15.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 30 {(0)}^{4} + 150 {(0)}^{2} + 90 (0) - 108$

Schritt 15.4.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 0 - 30 \cdot 0 + 150 {(0)}^{2} + 90 (0) - 108$

Schritt 15.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 30$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 150 {(0)}^{2} + 90 (0) - 108$

Schritt 15.4.2.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 150 \cdot 0 + 90 (0) - 108$

Schritt 15.4.2.1.6

Mutltipliziere $150$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 + 90 (0) - 108$

Schritt 15.4.2.1.7

Mutltipliziere $90$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 + 0 - 108$

Schritt 15.4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 15.4.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 108$

Schritt 15.4.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 108$

Schritt 15.4.2.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = 0 - 108$

Schritt 15.4.2.2.4

Subtrahiere $108$ von $0$ .

$f' (0) = - 108$

Schritt 15.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 108$ .

$- 108$

Schritt 15.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 2)$ in die erste Ableitung $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - 6 {(1)}^{5} - 30 {(1)}^{4} + 150 {(1)}^{2} + 90 (1) - 108$

Schritt 15.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.5.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - 6 \cdot 1 - 30 {(1)}^{4} + 150 {(1)}^{2} + 90 (1) - 108$

Schritt 15.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f' (1) = - 6 - 30 {(1)}^{4} + 150 {(1)}^{2} + 90 (1) - 108$

Schritt 15.5.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - 6 - 30 \cdot 1 + 150 {(1)}^{2} + 90 (1) - 108$

Schritt 15.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 30$ mit $1$ .

$f' (1) = - 6 - 30 + 150 {(1)}^{2} + 90 (1) - 108$

Schritt 15.5.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - 6 - 30 + 150 \cdot 1 + 90 (1) - 108$

Schritt 15.5.2.1.6

Mutltipliziere $150$ mit $1$ .

$f' (1) = - 6 - 30 + 150 + 90 (1) - 108$

Schritt 15.5.2.1.7

Mutltipliziere $90$ mit $1$ .

$f' (1) = - 6 - 30 + 150 + 90 - 108$

Schritt 15.5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 15.5.2.2.1

Subtrahiere $30$ von $- 6$ .

$f' (1) = - 36 + 150 + 90 - 108$

Schritt 15.5.2.2.2

Addiere $- 36$ und $150$ .

$f' (1) = 114 + 90 - 108$

Schritt 15.5.2.2.3

Addiere $114$ und $90$ .

$f' (1) = 204 - 108$

Schritt 15.5.2.2.4

Subtrahiere $108$ von $204$ .

$f' (1) = 96$

Schritt 15.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $96$ .

$96$

Schritt 15.6

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die erste Ableitung $- 6 x^{5} - 30 x^{4} + 150 x^{2} + 90 x - 108$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = - 6 {(4)}^{5} - 30 {(4)}^{4} + 150 {(4)}^{2} + 90 (4) - 108$

Schritt 15.6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.6.2.1.1

Potenziere $4$ mit $5$ .

$f' (4) = - 6 \cdot 1024 - 30 {(4)}^{4} + 150 {(4)}^{2} + 90 (4) - 108$

Schritt 15.6.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $1024$ .

$f' (4) = - 6144 - 30 {(4)}^{4} + 150 {(4)}^{2} + 90 (4) - 108$

Schritt 15.6.2.1.3

Potenziere $4$ mit $4$ .

$f' (4) = - 6144 - 30 \cdot 256 + 150 {(4)}^{2} + 90 (4) - 108$

Schritt 15.6.2.1.4

Mutltipliziere $- 30$ mit $256$ .

$f' (4) = - 6144 - 7680 + 150 {(4)}^{2} + 90 (4) - 108$

Schritt 15.6.2.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = - 6144 - 7680 + 150 \cdot 16 + 90 (4) - 108$

Schritt 15.6.2.1.6

Mutltipliziere $150$ mit $16$ .

$f' (4) = - 6144 - 7680 + 2400 + 90 (4) - 108$

Schritt 15.6.2.1.7

Mutltipliziere $90$ mit $4$ .

$f' (4) = - 6144 - 7680 + 2400 + 360 - 108$

Schritt 15.6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 15.6.2.2.1

Subtrahiere $7680$ von $- 6144$ .

$f' (4) = - 13824 + 2400 + 360 - 108$

Schritt 15.6.2.2.2

Addiere $- 13824$ und $2400$ .

$f' (4) = - 11424 + 360 - 108$

Schritt 15.6.2.2.3

Addiere $- 11424$ und $360$ .

$f' (4) = - 11064 - 108$

Schritt 15.6.2.2.4

Subtrahiere $108$ von $- 11064$ .

$f' (4) = - 11172$

Schritt 15.6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 11172$ .

$- 11172$

Schritt 15.7

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = - 3$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 15.8

Da die erste Ableitung um $x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ein lokales Maximum.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15.9

Da die erste Ableitung um $x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ ein lokales Minimum.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15.10

Da die erste Ableitung um $x = 2$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 2$ ein lokales Maximum.

$x = 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15.11

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - x^{6} - 6 x^{5} + 50 x^{3} + 45 x^{2} - 108 x - 108$ .

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ist ein lokales Maximum

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = 2$ ist ein lokales Maximum

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ist ein lokales Maximum

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16