Algebra Beispiele

$x e^{- x}$

Schritt 1

Schreibe $x e^{- x}$ als Funktion.

$f (x) = x e^{- x}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Schritt 2.1.3.5

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - e^{- x} x + e^{- x}$

Schritt 2.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x + e^{- x}$ um.

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- x e^{- x} + e^{- x}$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- x e^{- x}$ heraus.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

Schritt 3.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ heraus.

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $e^{- x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 3.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3.5

Setze $- x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $- x + 1$ gleich $0$ .

$- x + 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $- x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{- x} (- x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $1$ .

$1$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = x e^{- x}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 0 \cdot e^{- (0)} + e^{- (0)}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 \cdot e^{0} + e^{- (0)}$

Schritt 6.2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{- (0)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{- (0)}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Schritt 6.2.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Schritt 6.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (0) = 1$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 6.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $1$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 1)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 1)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - 2 \cdot e^{- (2)} + e^{- (2)}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (2) = - 2 \cdot e^{- 2} + e^{- (2)}$

Schritt 7.2.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- (2)}$

Schritt 7.2.1.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- (2)}$

Schritt 7.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- (2)}$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Schritt 7.2.1.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

Schritt 7.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.2.1

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f' (2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

Schritt 7.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (2) = - \frac{1}{e^{2}}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{1}{e^{2}}$

Schritt 7.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $- \frac{1}{e^{2}}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(1, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 1)$

Abfallend im Intervall: $(1, \infty)$

Schritt 9