Algebra Beispiele

$f (x) = - 3 x^{3} + 20 x^{2} - 36 x + 16$

Schritt 1

Stelle das Polynom $- 3 x^{3} + 20 x^{2} - 36 x + 16$ um.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 x^{3} \cdot - 1 + 20 x^{2} \cdot - 1 - 36 x \cdot - 1 + 16 \cdot - 1$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$3 x^{3} + 20 x^{2} \cdot - 1 - 36 x \cdot - 1 + 16 \cdot - 1$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$3 x^{3} - 20 x^{2} - 36 x \cdot - 1 + 16 \cdot - 1$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 36$ .

$3 x^{3} - 20 x^{2} + 36 x + 16 \cdot - 1$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$3 x^{3} - 20 x^{2} + 36 x - 16$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 8, \pm \frac{8}{3}, \pm 16, \pm \frac{16}{3}$

Schritt 3

Wende die synthetische Division auf $\frac{- 3 x^{3} + 20 x^{2} - 36 x + 16}{x + 1}$ an mit $x = - 1$ .

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Schritt 3.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 1$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

Schritt 3.2

Die erste Zahl im Dividenden $(- 3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 1$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

	$- 3$

Schritt 3.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(20)$ .

$- 1$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$3$
	$- 3$

Schritt 3.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$3$
	$- 3$	$23$

Schritt 3.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(23)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 23)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 36)$ .

$- 1$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$3$	$- 23$
	$- 3$	$23$

Schritt 3.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$3$	$- 23$
	$- 3$	$23$	$- 59$

Schritt 3.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 59)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(59)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$- 1$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$3$	$- 23$	$59$
	$- 3$	$23$	$- 59$

Schritt 3.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$3$	$- 23$	$59$
	$- 3$	$23$	$- 59$	$75$

Schritt 3.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$- 3 x^{2} + 23 x - 59 + \frac{75}{x + 1}$

Schritt 4

Da $- 1 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 1$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 1$

Schritt 5

Wende die synthetische Division auf $\frac{- 3 x^{3} + 20 x^{2} - 36 x + 16}{x + \frac{1}{3}}$ an mit $x = - \frac{1}{3}$ .

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Schritt 5.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{1}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

Schritt 5.2

Die erste Zahl im Dividenden $(- 3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{1}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

	$- 3$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(- \frac{1}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(20)$ .

$- \frac{1}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$1$
	$- 3$

Schritt 5.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{1}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$1$
	$- 3$	$21$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(21)$ mit dem Divisor $(- \frac{1}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 7)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 36)$ .

$- \frac{1}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$1$	$- 7$
	$- 3$	$21$

Schritt 5.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{1}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$1$	$- 7$
	$- 3$	$21$	$- 43$

Schritt 5.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 43)$ mit dem Divisor $(- \frac{1}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{43}{3})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$- \frac{1}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$1$	$- 7$	$\frac{43}{3}$
	$- 3$	$21$	$- 43$

Schritt 5.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{1}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$1$	$- 7$	$\frac{43}{3}$
	$- 3$	$21$	$- 43$	$\frac{91}{3}$

Schritt 5.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$- 3 x^{2} + 21 x - 43 + \frac{\frac{91}{3}}{x + \frac{1}{3}}$

Schritt 5.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$- 3 x^{2} + 21 x - 43 + \frac{91}{3 x + 1}$

Schritt 6

Da $- \frac{1}{3} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{1}{3}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{1}{3}$

Schritt 7

Wende die synthetische Division auf $\frac{- 3 x^{3} + 20 x^{2} - 36 x + 16}{x + 2}$ an mit $x = - 2$ .

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Schritt 7.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 2$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

Schritt 7.2

Die erste Zahl im Dividenden $(- 3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 2$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

	$- 3$

Schritt 7.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(20)$ .

$- 2$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$6$
	$- 3$

Schritt 7.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$6$
	$- 3$	$26$

Schritt 7.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(26)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 52)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 36)$ .

$- 2$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$6$	$- 52$
	$- 3$	$26$

Schritt 7.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$6$	$- 52$
	$- 3$	$26$	$- 88$

Schritt 7.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 88)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(176)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$- 2$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$6$	$- 52$	$176$
	$- 3$	$26$	$- 88$

Schritt 7.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$6$	$- 52$	$176$
	$- 3$	$26$	$- 88$	$192$

Schritt 7.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$- 3 x^{2} + 26 x - 88 + \frac{192}{x + 2}$

Schritt 8

Da $- 2 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 2$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 2$

Schritt 9

Wende die synthetische Division auf $\frac{- 3 x^{3} + 20 x^{2} - 36 x + 16}{x + \frac{2}{3}}$ an mit $x = - \frac{2}{3}$ .

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Schritt 9.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{2}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

Schritt 9.2

Die erste Zahl im Dividenden $(- 3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{2}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

	$- 3$

Schritt 9.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(- \frac{2}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(20)$ .

$- \frac{2}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$2$
	$- 3$

Schritt 9.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{2}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$2$
	$- 3$	$22$

Schritt 9.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(22)$ mit dem Divisor $(- \frac{2}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(- \frac{44}{3})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 36)$ .

$- \frac{2}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$2$	$- \frac{44}{3}$
	$- 3$	$22$

Schritt 9.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{2}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$2$	$- \frac{44}{3}$
	$- 3$	$22$	$- \frac{152}{3}$

Schritt 9.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- \frac{152}{3})$ mit dem Divisor $(- \frac{2}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{304}{9})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$- \frac{2}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$2$	$- \frac{44}{3}$	$\frac{304}{9}$
	$- 3$	$22$	$- \frac{152}{3}$

Schritt 9.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{2}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$2$	$- \frac{44}{3}$	$\frac{304}{9}$
	$- 3$	$22$	$- \frac{152}{3}$	$\frac{448}{9}$

Schritt 9.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$- 3 x^{2} + 22 x - \frac{152}{3} + \frac{\frac{448}{9}}{x + \frac{2}{3}}$

Schritt 9.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$- 3 x^{2} + 22 x - \frac{152}{3} + \frac{448}{3 (3 x + 2)}$

Schritt 10

Da $- \frac{2}{3} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{2}{3}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{2}{3}$

Schritt 11

Wende die synthetische Division auf $\frac{- 3 x^{3} + 20 x^{2} - 36 x + 16}{x + 4}$ an mit $x = - 4$ .

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Schritt 11.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 4$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

Schritt 11.2

Die erste Zahl im Dividenden $(- 3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 4$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

	$- 3$

Schritt 11.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(20)$ .

$- 4$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$12$
	$- 3$

Schritt 11.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$12$
	$- 3$	$32$

Schritt 11.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(32)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 128)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 36)$ .

$- 4$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$12$	$- 128$
	$- 3$	$32$

Schritt 11.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$12$	$- 128$
	$- 3$	$32$	$- 164$

Schritt 11.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 164)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(656)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$- 4$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$12$	$- 128$	$656$
	$- 3$	$32$	$- 164$

Schritt 11.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$12$	$- 128$	$656$
	$- 3$	$32$	$- 164$	$672$

Schritt 11.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$- 3 x^{2} + 32 x - 164 + \frac{672}{x + 4}$

Schritt 12

Da $- 4 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 4$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 4$

Schritt 13

Wende die synthetische Division auf $\frac{- 3 x^{3} + 20 x^{2} - 36 x + 16}{x + \frac{4}{3}}$ an mit $x = - \frac{4}{3}$ .

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Schritt 13.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{4}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

Schritt 13.2

Die erste Zahl im Dividenden $(- 3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{4}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

	$- 3$

Schritt 13.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(- \frac{4}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(20)$ .

$- \frac{4}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$4$
	$- 3$

Schritt 13.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{4}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$4$
	$- 3$	$24$

Schritt 13.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(24)$ mit dem Divisor $(- \frac{4}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 32)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 36)$ .

$- \frac{4}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$4$	$- 32$
	$- 3$	$24$

Schritt 13.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{4}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$4$	$- 32$
	$- 3$	$24$	$- 68$

Schritt 13.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 68)$ mit dem Divisor $(- \frac{4}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{272}{3})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$- \frac{4}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$4$	$- 32$	$\frac{272}{3}$
	$- 3$	$24$	$- 68$

Schritt 13.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{4}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$4$	$- 32$	$\frac{272}{3}$
	$- 3$	$24$	$- 68$	$\frac{320}{3}$

Schritt 13.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$- 3 x^{2} + 24 x - 68 + \frac{\frac{320}{3}}{x + \frac{4}{3}}$

Schritt 13.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$- 3 x^{2} + 24 x - 68 + \frac{320}{3 x + 4}$

Schritt 14

Da $- \frac{4}{3} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{4}{3}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{4}{3}$

Schritt 15

Wende die synthetische Division auf $\frac{- 3 x^{3} + 20 x^{2} - 36 x + 16}{x + 8}$ an mit $x = - 8$ .

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Schritt 15.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 8$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

Schritt 15.2

Die erste Zahl im Dividenden $(- 3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 8$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

	$- 3$

Schritt 15.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(- 8)$ und schreibe das Ergebnis von $(24)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(20)$ .

$- 8$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$24$
	$- 3$

Schritt 15.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 8$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$24$
	$- 3$	$44$

Schritt 15.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(44)$ mit dem Divisor $(- 8)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 352)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 36)$ .

$- 8$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$24$	$- 352$
	$- 3$	$44$

Schritt 15.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 8$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$24$	$- 352$
	$- 3$	$44$	$- 388$

Schritt 15.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 388)$ mit dem Divisor $(- 8)$ und schreibe das Ergebnis von $(3104)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$- 8$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$24$	$- 352$	$3104$
	$- 3$	$44$	$- 388$

Schritt 15.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 8$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$24$	$- 352$	$3104$
	$- 3$	$44$	$- 388$	$3120$

Schritt 15.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$- 3 x^{2} + 44 x - 388 + \frac{3120}{x + 8}$

Schritt 16

Da $- 8 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 8$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 8$

Schritt 17

Wende die synthetische Division auf $\frac{- 3 x^{3} + 20 x^{2} - 36 x + 16}{x + \frac{8}{3}}$ an mit $x = - \frac{8}{3}$ .

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Schritt 17.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{8}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

Schritt 17.2

Die erste Zahl im Dividenden $(- 3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{8}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

	$- 3$

Schritt 17.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(- \frac{8}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(20)$ .

$- \frac{8}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$8$
	$- 3$

Schritt 17.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{8}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$8$
	$- 3$	$28$

Schritt 17.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(28)$ mit dem Divisor $(- \frac{8}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(- \frac{224}{3})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 36)$ .

$- \frac{8}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$8$	$- \frac{224}{3}$
	$- 3$	$28$

Schritt 17.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{8}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$8$	$- \frac{224}{3}$
	$- 3$	$28$	$- \frac{332}{3}$

Schritt 17.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- \frac{332}{3})$ mit dem Divisor $(- \frac{8}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{2656}{9})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$- \frac{8}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$8$	$- \frac{224}{3}$	$\frac{2656}{9}$
	$- 3$	$28$	$- \frac{332}{3}$

Schritt 17.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{8}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$8$	$- \frac{224}{3}$	$\frac{2656}{9}$
	$- 3$	$28$	$- \frac{332}{3}$	$\frac{2800}{9}$

Schritt 17.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$- 3 x^{2} + 28 x - \frac{332}{3} + \frac{\frac{2800}{9}}{x + \frac{8}{3}}$

Schritt 17.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$- 3 x^{2} + 28 x - \frac{332}{3} + \frac{2800}{3 (3 x + 8)}$

Schritt 18

Da $- \frac{8}{3} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{8}{3}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{8}{3}$

Schritt 19

Wende die synthetische Division auf $\frac{- 3 x^{3} + 20 x^{2} - 36 x + 16}{x + 16}$ an mit $x = - 16$ .

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Schritt 19.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 16$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

Schritt 19.2

Die erste Zahl im Dividenden $(- 3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 16$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

	$- 3$

Schritt 19.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(- 16)$ und schreibe das Ergebnis von $(48)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(20)$ .

$- 16$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$48$
	$- 3$

Schritt 19.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 16$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$48$
	$- 3$	$68$

Schritt 19.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(68)$ mit dem Divisor $(- 16)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1088)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 36)$ .

$- 16$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$48$	$- 1088$
	$- 3$	$68$

Schritt 19.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 16$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$48$	$- 1088$
	$- 3$	$68$	$- 1124$

Schritt 19.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 1124)$ mit dem Divisor $(- 16)$ und schreibe das Ergebnis von $(17984)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$- 16$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$48$	$- 1088$	$17984$
	$- 3$	$68$	$- 1124$

Schritt 19.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 16$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$48$	$- 1088$	$17984$
	$- 3$	$68$	$- 1124$	$18000$

Schritt 19.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$- 3 x^{2} + 68 x - 1124 + \frac{18000}{x + 16}$

Schritt 20

Da $- 16 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 16$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 16$

Schritt 21

Wende die synthetische Division auf $\frac{- 3 x^{3} + 20 x^{2} - 36 x + 16}{x + \frac{16}{3}}$ an mit $x = - \frac{16}{3}$ .

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Schritt 21.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{16}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

Schritt 21.2

Die erste Zahl im Dividenden $(- 3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{16}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$

	$- 3$

Schritt 21.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(- \frac{16}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(16)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(20)$ .

$- \frac{16}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$16$
	$- 3$

Schritt 21.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{16}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$16$
	$- 3$	$36$

Schritt 21.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(36)$ mit dem Divisor $(- \frac{16}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 192)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 36)$ .

$- \frac{16}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$16$	$- 192$
	$- 3$	$36$

Schritt 21.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{16}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$16$	$- 192$
	$- 3$	$36$	$- 228$

Schritt 21.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 228)$ mit dem Divisor $(- \frac{16}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(1216)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$- \frac{16}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$16$	$- 192$	$1216$
	$- 3$	$36$	$- 228$

Schritt 21.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{16}{3}$	$- 3$	$20$	$- 36$	$16$
		$16$	$- 192$	$1216$
	$- 3$	$36$	$- 228$	$1232$

Schritt 21.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$- 3 x^{2} + 36 x - 228 + \frac{1232}{x + \frac{16}{3}}$

Schritt 21.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$- 3 x^{2} + 36 x - 228 + \frac{3696}{3 x + 16}$

Schritt 22

Da $- \frac{16}{3} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{16}{3}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{16}{3}$

Schritt 23

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Keine oberen Schranken

Untere Schranken: $- 1, - \frac{1}{3}, - 2, - \frac{2}{3}, - 4, - \frac{4}{3}, - 8, - \frac{8}{3}, - 16, - \frac{16}{3}$

Schritt 24