Algebra Beispiele

$e^{- x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $e^{- x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = e^{- x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Stelle die Faktoren von $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ um.

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- x^{2}} x$ um.

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x e^{- x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.8.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $e^{- x^{2}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 e^{- x^{2}}$

Schritt 3.11.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Schritt 3.11.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$

Schritt 3.11.4

Stelle die Faktoren in $4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$ um.

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 5.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Schritt 5.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2}$ .

$f' (x) = e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Stelle die Faktoren von $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ um.

$f' (x) = - 2 e^{- x^{2}} x$

Schritt 5.1.3.2

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- x^{2}} x$ um.

$f' (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 x e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 x e^{- x^{2}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$e^{- x^{2}} = 0$

Schritt 6.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.4

Setze $e^{- x^{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $e^{- x^{2}}$ gleich $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $e^{- x^{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Schritt 6.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 6.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x^{2}} = 0$

Keine Lösung

Schritt 6.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 x e^{- x^{2}} = 0$ wahr machen.

$x = 0$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 10.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 e^{- 0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 e^{0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 10.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 \cdot 1 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 10.1.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 10.1.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 2 e^{- 0}$

Schritt 10.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 - 2 e^{0}$

Schritt 10.1.9

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Schritt 10.1.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$0 - 2$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = e^{- {(0)}^{2}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = e^{- 0}$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = e^{0}$

Schritt 12.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f (0) = 1$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = e^{- x^{2}}$ .

$(0, 1)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14