Algebra Beispiele

$\ln^{2} (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$f' (x) = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 2 \ln (x) (\frac{1}{x})$

Schritt 1.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{x} \cdot \ln (x)$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $\ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Schritt 1.4

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f' (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x^{2})$ und $g (x) = x$ .

$f'' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (\ln (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = \frac{x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 2.3.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 2.3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 2.3.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot (2 x) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{x} \cdot x - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 2.3.4.2

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x}{x} - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 2.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x}{x} - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 2.3.4.3.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$