Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 2 x & - y \\ - 4 & 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 6 \\ - 2 & 5 \end{array}] = [\begin{array}{c} 6 & - 134 \\ - 10 & - 9 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere $[\begin{array}{c} 2 x & - y \\ - 4 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 6 \\ - 2 & 5 \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} 2 x \cdot 1 - y \cdot - 2 & 2 x \cdot 6 - y \cdot 5 \\ - 4 \cdot 1 + 3 \cdot - 2 & - 4 \cdot 6 + 3 \cdot 5 \end{array}] = [\begin{array}{c} 6 & - 134 \\ - 10 & - 9 \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} 2 x + 2 y & 12 x - 5 y \\ - 10 & - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 6 & - 134 \\ - 10 & - 9 \end{array}]$

Schritt 2

Bestimme die Funktionsregel.

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Schritt 2.1

Prüfe, ob die Funktionsregel linear ist.

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Schritt 2.1.1

Um zu ermitteln, ob die Tabelle einer Funktionsregel folgt, prüfe, ob die Werte der linearen Form $y = a x + b$ folgen.

$y = a x + b$

Schritt 2.1.2

Erzeuge eine Menge von Gleichungen aus der Tabelle, sodass $y = a x + b$ .

$- 10 = a (- 10) + b - 9 = a (- 9) + b$

Schritt 2.1.3

Berechne die Werte von $a$ und $b$ .

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Schritt 2.1.3.1

Löse in $- 10 = a (- 10) + b$ nach $b$ auf.

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Schritt 2.1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $a (- 10) + b = - 10$ um.

$a (- 10) + b = - 10$

$- 9 = a (- 9) + b$

Schritt 2.1.3.1.2

Bringe $- 10$ auf die linke Seite von $a$ .

$- 10 a + b = - 10$

$- 9 = a (- 9) + b$

Schritt 2.1.3.1.3

Addiere $10 a$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$b = - 10 + 10 a$

$- 9 = a (- 9) + b$

$b = - 10 + 10 a$

$- 9 = a (- 9) + b$

Schritt 2.1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $- 10 + 10 a$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1.3.2.1

Ersetze alle $b$ in $- 9 = a (- 9) + b$ durch $- 10 + 10 a$ .

$- 9 = a (- 9) - 10 + 10 a$

$b = - 10 + 10 a$

Schritt 2.1.3.2.2

Vereinfache $- 9 = a (- 9) - 10 + 10 a$ .

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Schritt 2.1.3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.3.2.2.1.1

Entferne die Klammern.

$- 9 = a (- 9) - 10 + 10 a$

$b = - 10 + 10 a$

$- 9 = a (- 9) - 10 + 10 a$

$b = - 10 + 10 a$

Schritt 2.1.3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.2.2.2.1

Vereinfache $a (- 9) - 10 + 10 a$ .

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Schritt 2.1.3.2.2.2.1.1

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $a$ .

$- 9 = - 9 a - 10 + 10 a$

$b = - 10 + 10 a$

Schritt 2.1.3.2.2.2.1.2

Addiere $- 9 a$ und $10 a$ .

$- 9 = a - 10$

$b = - 10 + 10 a$

$- 9 = a - 10$

$b = - 10 + 10 a$

$- 9 = a - 10$

$b = - 10 + 10 a$

$- 9 = a - 10$

$b = - 10 + 10 a$

$- 9 = a - 10$

$b = - 10 + 10 a$

Schritt 2.1.3.3

Löse in $- 9 = a - 10$ nach $a$ auf.

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Schritt 2.1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $a - 10 = - 9$ um.

$a - 10 = - 9$

$b = - 10 + 10 a$

Schritt 2.1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.3.3.2.1

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = - 9 + 10$

$b = - 10 + 10 a$

Schritt 2.1.3.3.2.2

Addiere $- 9$ und $10$ .

$a = 1$

$b = - 10 + 10 a$

$a = 1$

$b = - 10 + 10 a$

$a = 1$

$b = - 10 + 10 a$

Schritt 2.1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1.3.4.1

Ersetze alle $a$ in $b = - 10 + 10 a$ durch $1$ .

$b = - 10 + 10 (1)$

$a = 1$

Schritt 2.1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.4.2.1

Vereinfache $- 10 + 10 (1)$ .

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Schritt 2.1.3.4.2.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$b = - 10 + 10$

$a = 1$

Schritt 2.1.3.4.2.1.2

Addiere $- 10$ und $10$ .

$b = 0$

$a = 1$

$b = 0$

$a = 1$

$b = 0$

$a = 1$

$b = 0$

$a = 1$

Schritt 2.1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$b = 0, a = 1$

Schritt 2.1.4

Berechne den Wert von $y$ unter Verwendung jedes $x$ -Wertes in der Relation und vergleiche diesen Wert mit dem gegebenen $y$ -Wert in der Relation.

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Schritt 2.1.4.1

Berechne den Wert von $y$ , wenn $a = 1$ , $b = 0$ und $x = - 10$ .

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Schritt 2.1.4.1.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$y = - 10 + 0$

Schritt 2.1.4.1.2

Addiere $- 10$ und $0$ .

$y = - 10$

Schritt 2.1.4.2

Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, $y = y$ für den entsprechenden $x$ -Wert, $x = - 10$ . Der Test wird bestanden, da $y = - 10$ und $y = - 10$ .

$- 10 = - 10$

Schritt 2.1.4.3

Berechne den Wert von $y$ , wenn $a = 1$ , $b = 0$ und $x = - 9$ .

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Schritt 2.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$y = - 9 + 0$

Schritt 2.1.4.3.2

Addiere $- 9$ und $0$ .

$y = - 9$

Schritt 2.1.4.4

Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, $y = y$ für den entsprechenden $x$ -Wert, $x = - 9$ . Der Test wird bestanden, da $y = - 9$ und $y = - 9$ .

$- 9 = - 9$

Schritt 2.1.4.5

Da für die entsprechenden $x$ -Werte $y = y$ , ist die Funktion linear.

Die Funktion ist linear

Schritt 2.2

Da alle $y = y$ , ist die Funktion linear und folgt der Form $y = x$ .

$y = x$

Schritt 3

Ermittle $2 x + 2 y$ .

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Schritt 3.1

Benutze die Gleichung der Funktionsregel, um $2 x + 2 y$ zu ermitteln.

$6 = 2 x + 2 y$

Schritt 3.2

Schreibe die Gleichung als $2 x + 2 y = 6$ um.

$2 x + 2 y = 6$

Schritt 3.3

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 6 - 2 y$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 6 - 2 y$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 6 - 2 y$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.1

Dividiere $6$ durch $2$ .

$x = 3 + \frac{- 2 y}{2}$

Schritt 3.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$x = 3 + \frac{2 (- y)}{2}$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = 3 + \frac{2 (- y)}{2 (1)}$

Schritt 3.4.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 + \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 + \frac{- y}{1}$

Schritt 3.4.3.1.2.2.4

Dividiere $- y$ durch $1$ .

$x = 3 - y$

Schritt 4

Ermittle $12 x - 5 y$ .

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Schritt 4.1

Benutze die Gleichung der Funktionsregel, um $12 x - 5 y$ zu ermitteln.

$- 134 = 12 x - 5 y$

Schritt 4.2

Schreibe die Gleichung als $12 x - 5 y = - 134$ um.

$12 x - 5 y = - 134$

Schritt 4.3

Addiere $5 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x = - 134 + 5 y$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $12 x = - 134 + 5 y$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = - 134 + 5 y$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 134}{12} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 134}{12} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 134}{12} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 134$ und $12$ .

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Schritt 4.4.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 134$ heraus.

$x = \frac{2 (- 67)}{12} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 4.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 67}{2 \cdot 6} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 4.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 67}{2 \cdot 6} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 4.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 67}{6} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 4.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{67}{6} + \frac{5 y}{12}$

Schritt 5

Liste alle Lösungen auf.

$x = 3 - y x = - \frac{67}{6} + \frac{5 y}{12}$