Algebra Beispiele

$\frac{1}{8} x^{3}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{8} y^{3}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{8} y^{3} = x$ um.

$\frac{1}{8} y^{3} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $8$ .

$8 (\frac{1}{8} y^{3}) = 8 x$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $8 (\frac{1}{8} y^{3})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $y^{3}$ .

$8 \frac{y^{3}}{8} = 8 x$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{y^{3}}{8} = 8 x$

Schritt 2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 8 x$

Schritt 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{8 x}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\sqrt[3]{8 x}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{2^{3} x}$

Schritt 2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = 2 \sqrt[3]{x}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{8} x^{3}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 \sqrt[3]{\frac{1}{8} x^{3}}$

Schritt 4.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 \sqrt[3]{\frac{1}{8} x^{3}}$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $x^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8}}$

Schritt 4.2.5

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{2^{3}}}$

Schritt 4.2.6

Schreibe $\frac{x^{3}}{2^{3}}$ als ${(\frac{x}{2})}^{3}$ um.

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 \sqrt[3]{{(\frac{x}{2})}^{3}}$

Schritt 4.2.7

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{8} x^{3}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (2 \sqrt[3]{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = \frac{1}{8} \cdot {(2 \sqrt[3]{x})}^{3}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.3.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt[3]{x}$ an.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = \frac{1}{8} \cdot (2^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3})$

Schritt 4.3.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = \frac{1}{8} \cdot (8 {\sqrt[3]{x}}^{3})$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $8$ aus $8 {\sqrt[3]{x}}^{3}$ heraus.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = \frac{1}{8} \cdot (8 ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Schritt 4.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = \frac{1}{8} \cdot (8 {\sqrt[3]{x}}^{3})$

Schritt 4.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Schritt 4.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 4.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 4.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 4.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (2 \sqrt[3]{x}) = x^{\frac{3}{3}}$

Schritt 4.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = x^{\frac{3}{3}}$

Schritt 4.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = x$

Schritt 4.3.5.5

Vereinfache.

$f (2 \sqrt[3]{x}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{8} x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x}$