Algebra Beispiele

$2 {(x - 2)}^{3}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 2 {(y - 2)}^{3}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $2 {(y - 2)}^{3} = x$ um.

$2 {(y - 2)}^{3} = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 {(y - 2)}^{3} = x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 {(y - 2)}^{3} = x$ durch $2$ .

$\frac{2 {(y - 2)}^{3}}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(y - 2)}^{3}}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere ${(y - 2)}^{3}$ durch $1$ .

${(y - 2)}^{3} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 2 = \sqrt[3]{\frac{x}{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ .

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Schritt 2.4.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ um.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.3.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Schritt 2.4.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Schritt 2.4.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 2.4.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 2.4.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 2.4.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.4.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.4.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.4.3.5.5

Berechne den Exponenten.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Schritt 2.4.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{4}}{2}$

Schritt 2.4.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.4.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$

Schritt 2.4.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$ um.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$

Schritt 2.5

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 {(x - 2)}^{3}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 {(x - 2)}^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 {(x - 2)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 {(x - 2)}^{3})}}{2} + 2$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 {(x - 2)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{8 {(x - 2)}^{3}}}{2} + 2$

Schritt 4.2.3.1.2

Schreibe $8 {(x - 2)}^{3}$ als ${(2 (x - 2))}^{3}$ um.

$f^{- 1} (2 {(x - 2)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 (x - 2))}^{3}}}{2} + 2$

Schritt 4.2.3.1.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (2 {(x - 2)}^{3}) = \frac{2 (x - 2)}{2} + 2$

Schritt 4.2.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 {(x - 2)}^{3}) = \frac{2 x + 2 \cdot - 2}{2} + 2$

Schritt 4.2.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (2 {(x - 2)}^{3}) = \frac{2 x - 4}{2} + 2$

Schritt 4.2.3.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 4$ heraus.

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Schritt 4.2.3.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (2 {(x - 2)}^{3}) = \frac{2 (x) - 4}{2} + 2$

Schritt 4.2.3.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$f^{- 1} (2 {(x - 2)}^{3}) = \frac{2 x + 2 \cdot - 2}{2} + 2$

Schritt 4.2.3.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 2$ heraus.

$f^{- 1} (2 {(x - 2)}^{3}) = \frac{2 (x - 2)}{2} + 2$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 {(x - 2)}^{3}) = \frac{2 (x - 2)}{2} + 2$

Schritt 4.2.3.2.2

Dividiere $x - 2$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 {(x - 2)}^{3}) = x - 2 + 2$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (2 {(x - 2)}^{3}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 {(x - 2)}^{3}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) = 2 {((\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) - 2)}^{3}$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) - 2$ .

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Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 0)}^{3}$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}^{3}$

Schritt 4.3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{4 x}}^{3}}{2^{3}})$

Schritt 4.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4 x}}^{3}$ als $4 x$ um.

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Schritt 4.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 x}$ als ${(4 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) = 2 (\frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Schritt 4.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Schritt 4.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Schritt 4.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Schritt 4.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 x}{2^{3}})$

Schritt 4.3.5.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 x}{2^{3}})$

Schritt 4.3.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 x}{8})$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 x}{2 (4)})$

Schritt 4.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 x}{2 \cdot 4})$

Schritt 4.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.3.8.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 {(x - 2)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2} + 2$