Algebra Beispiele

$y = 3 x e^{- k x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d k} (y) = \frac{d}{d k} (3 x e^{- k x})$

Schritt 2

Da $y$ konstant bezüglich $k$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $k$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $k$ ist, ist die Ableitung von $3 x e^{- k x}$ nach $k$ gleich $3 \frac{d}{d k} [x e^{- k x}]$ .

$3 \frac{d}{d k} [x e^{- k x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ gleich $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ ist mit $f (k) = x$ und $g (k) = e^{- k x}$ .

$3 (x \frac{d}{d k} [e^{- k x}] + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ ist $f' (g (k)) g' (k)$ , mit $f (k) = e^{k}$ und $g (k) = - k x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- k x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- k x$ .

$3 (x (e^{- k x} \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $k$ ist, ist die Ableitung von $- k x$ nach $k$ gleich $- \frac{d}{d k} [k x]$ .

$3 (x (e^{- k x} (- \frac{d}{d k} [k x])) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ gleich $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ ist mit $f (k) = k$ und $g (k) = x$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k \frac{d}{d k} [x] + x \frac{d}{d k} [k]))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Schritt 3.6

Schreibe $\frac{d}{d k} [x]$ als $x'$ um.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x \frac{d}{d k} [k]))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ gleich $n k^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x \cdot 1))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Schritt 3.9

Schreibe $\frac{d}{d k} [x]$ als $x'$ um.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x))) + e^{- k x} x')$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x') - x)) + e^{- k x} x')$

Schritt 3.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x')) + e^{- k x} (- x)) + e^{- k x} x')$

Schritt 3.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x'))) + x (e^{- k x} (- x)) + e^{- k x} x')$

Schritt 3.10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x')))) + 3 (x (e^{- k x} (- x))) + 3 (e^{- k x} x')$

Schritt 3.10.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.10.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 (x (e^{- k x} (k x'))) + 3 (x (e^{- k x} (- x))) + 3 (e^{- k x} x')$

Schritt 3.10.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1} x (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Schritt 3.10.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1} x^{1} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Schritt 3.10.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1 + 1} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Schritt 3.10.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Schritt 3.10.5.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- k x}$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (- 1 \cdot e^{- k x})) + 3 (e^{- k x} x')$

Schritt 3.10.5.7

Schreibe $- 1 e^{- k x}$ als $- e^{- k x}$ um.

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (- e^{- k x})) + 3 (e^{- k x} x')$

Schritt 3.10.5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) - 3 x^{2} e^{- k x} + 3 e^{- k x} x'$

Schritt 3.10.6

Stelle die Terme um.

$- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$0 = - 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x' = 0$ um.

$- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x' = 0$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$ um.

$- 3 k x x' e^{- k x} - 3 x^{2} e^{- k x} + 3 x' e^{- k x} = 0$

Schritt 5.3

Addiere $3 x^{2} e^{- k x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 k x x' e^{- k x} + 3 x' e^{- k x} = 3 x^{2} e^{- k x}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $3 x' e^{- k x}$ aus $- 3 k x x' e^{- k x} + 3 x' e^{- k x}$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $3 x' e^{- k x}$ aus $- 3 k x x' e^{- k x}$ heraus.

$3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} = 3 x^{2} e^{- k x}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $3 x' e^{- k x}$ aus $3 x' e^{- k x}$ heraus.

$3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} \cdot 1 = 3 x^{2} e^{- k x}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $3 x' e^{- k x}$ aus $3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} \cdot 1$ heraus.

$3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$ durch $3 e^{- k x} (- k x + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$ durch $3 e^{- k x} (- k x + 1)$ .

$\frac{3 x' e^{- k x} (- k x + 1)}{3 e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x' e^{- k x} (- k x + 1)}{3 e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' e^{- k x} (- k x + 1)}{e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- k x}$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' e^{- k x} (- k x + 1)}{e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Schritt 5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (- k x + 1)}{- k x + 1} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Schritt 5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- k x + 1$ .

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Schritt 5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (- k x + 1)}{- k x + 1} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Schritt 5.5.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Schritt 5.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{x^{2} e^{- k x}}{e^{- k x} (- k x + 1)}$

Schritt 5.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- k x}$ .

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Schritt 5.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{x^{2} e^{- k x}}{e^{- k x} (- k x + 1)}$

Schritt 5.5.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{x^{2}}{- k x + 1}$

Schritt 5.5.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- k x$ heraus.

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x) + 1}$

Schritt 5.5.3.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x) - 1 (- 1)}$

Schritt 5.5.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (k x) - 1 (- 1)$ heraus.

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x - 1)}$

Schritt 5.5.3.6

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.5.3.6.1

Schreibe $- (k x - 1)$ als $- 1 (k x - 1)$ um.

$x' = \frac{x^{2}}{- 1 (k x - 1)}$

Schritt 5.5.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x^{2}}{k x - 1}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d k}$ .

$\frac{d x}{d k} = - \frac{x^{2}}{k x - 1}$