Algebra Beispiele

$r = m^{2} (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d r} (r) = \frac{d}{d r} (m^{2} (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ gleich $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ ist mit $f (r) = m^{2}$ und $g (r) = \frac{c}{2} - \frac{m}{3}$ .

$m^{2} \frac{d}{d r} [\frac{c}{2} - \frac{m}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{c}{2} - \frac{m}{3}$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}]$ .

$m^{2} (\frac{d}{d r} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Schritt 3.2.2

Da $\frac{c}{2}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{c}{2}$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$m^{2} (0 + \frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}]$ .

$m^{2} \frac{d}{d r} [- \frac{m}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Schritt 3.2.4

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{m}{3}$ nach $r$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d r} [m]$ .

$m^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d r} [m]) + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $m^{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{m^{2}}{3} \frac{d}{d r} [m] + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d r} [m]$ als $m'$ um.

$- \frac{m^{2}}{3} m' + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Schritt 3.4

Kombiniere $m'$ und $\frac{m^{2}}{3}$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \frac{d}{d r} [m^{2}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ ist $f' (g (r)) g' (r)$ , mit $f (r) = r^{2}$ und $g (r) = m$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $m$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d r} [m])$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) (2 u \frac{d}{d r} [m])$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $m$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) (2 m \frac{d}{d r} [m])$

Schritt 3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\frac{c}{2} - \frac{m}{3}$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + 2 \cdot (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) m \frac{d}{d r} [m]$

Schritt 3.7

Schreibe $\frac{d}{d r} [m]$ als $m'$ um.

$- \frac{m' m^{2}}{3} + 2 (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) m m'$

Schritt 3.8

Stelle die Faktoren von $2 (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) m m'$ um.

$- \frac{m' m^{2}}{3} + 2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})$

Schritt 3.9

Um $2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + 2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.10

Kombiniere $2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{m' m^{2}}{3} + \frac{2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \cdot 3}{3}$

Schritt 3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- m' m^{2} + 2 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3}) \cdot 3}{3}$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- m' m^{2} + 6 m m' (\frac{c}{2} - \frac{m}{3})}{3}$

Schritt 3.13

Vereinfache.

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Schritt 3.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- m' m^{2} + 6 m m' \frac{c}{2} + 6 m m' (- \frac{m}{3})}{3}$

Schritt 3.13.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.13.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.13.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.13.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 m m'$ heraus.

$\frac{- m' m^{2} + 2 (3 m m') \frac{c}{2} + 6 m m' (- \frac{m}{3})}{3}$

Schritt 3.13.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- m' m^{2} + 2 (3 m m') \frac{c}{2} + 6 m m' (- \frac{m}{3})}{3}$

Schritt 3.13.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 6 m m' (- \frac{m}{3})}{3}$

Schritt 3.13.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.13.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{m}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 6 m m' \frac{- m}{3}}{3}$

Schritt 3.13.2.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6 m m'$ heraus.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 3 (2 m m') \frac{- m}{3}}{3}$

Schritt 3.13.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 3 (2 m m') \frac{- m}{3}}{3}$

Schritt 3.13.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c + 2 m m' (- m)}{3}$

Schritt 3.13.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 m m' m}{3}$

Schritt 3.13.2.1.4

Potenziere $m$ mit $1$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 (m^{1} m) m'}{3}$

Schritt 3.13.2.1.5

Potenziere $m$ mit $1$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 (m^{1} m^{1}) m'}{3}$

Schritt 3.13.2.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 m^{1 + 1} m'}{3}$

Schritt 3.13.2.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- m' m^{2} + 3 m m' c - 2 m^{2} m'}{3}$

Schritt 3.13.2.2

Subtrahiere $2 m^{2} m'$ von $- m' m^{2}$ .

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Schritt 3.13.2.2.1

Bewege $m'$ .

$\frac{- m^{2} m' - 2 m^{2} m' + 3 m m' c}{3}$

Schritt 3.13.2.2.2

Subtrahiere $2 m^{2} m'$ von $- m^{2} m'$ .

$\frac{- 3 m^{2} m' + 3 m m' c}{3}$

Schritt 3.13.2.3

Stelle die Faktoren in $- 3 m^{2} m' + 3 m m' c$ um.

$\frac{- 3 m^{2} m' + 3 m c m'}{3}$

Schritt 3.13.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 m^{2} m' + 3 c m m'}{3}$

Schritt 3.13.4

Faktorisiere $3 m m'$ aus $- 3 m^{2} m' + 3 c m m'$ heraus.

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Schritt 3.13.4.1

Faktorisiere $3 m m'$ aus $- 3 m^{2} m'$ heraus.

$\frac{3 m m' (- m) + 3 c m m'}{3}$

Schritt 3.13.4.2

Faktorisiere $3 m m'$ aus $3 c m m'$ heraus.

$\frac{3 m m' (- m) + 3 m m' (c)}{3}$

Schritt 3.13.4.3

Faktorisiere $3 m m'$ aus $3 m m' (- m) + 3 m m' (c)$ heraus.

$\frac{3 m m' (- m + c)}{3}$

Schritt 3.13.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.13.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 m m' (- m + c)}{3}$

Schritt 3.13.5.2

Dividiere $m m' (- m + c)$ durch $1$ .

$m m' (- m + c)$

Schritt 3.13.6

Wende das Distributivgesetz an.

$m m' (- m) + m m' c$

Schritt 3.13.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- m m' m + m m' c$

Schritt 3.13.8

Multipliziere $m$ mit $m$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.13.8.1

Bewege $m$ .

$- (m \cdot m) m' + m m' c$

Schritt 3.13.8.2

Mutltipliziere $m$ mit $m$ .

$- m^{2} m' + m m' c$

Schritt 3.13.9

Stelle die Faktoren in $- m^{2} m' + m m' c$ um.

$- m^{2} m' + m c m'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - m^{2} m' + m c m'$

Schritt 5

Löse nach $m'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- m^{2} m' + m c m' = 1$ um.

$- m^{2} m' + m c m' = 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere $m m'$ aus $- m^{2} m' + m c m'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $m m'$ aus $- m^{2} m'$ heraus.

$m m' (- m) + m c m' = 1$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $m m'$ aus $m c m'$ heraus.

$m m' (- m) + m m' c = 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $m m'$ aus $m m' (- m) + m m' c$ heraus.

$m m' (- m + c) = 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $m m' (- m + c) = 1$ durch $m (- m + c)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $m m' (- m + c) = 1$ durch $m (- m + c)$ .

$\frac{m m' (- m + c)}{m (- m + c)} = \frac{1}{m (- m + c)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $m$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{m m' (- m + c)}{m (- m + c)} = \frac{1}{m (- m + c)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{m' (- m + c)}{- m + c} = \frac{1}{m (- m + c)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- m + c$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{m' (- m + c)}{- m + c} = \frac{1}{m (- m + c)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $m'$ durch $1$ .

$m' = \frac{1}{m (- m + c)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- m$ heraus.

$m' = \frac{1}{m (- (m) + c)}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $c$ heraus.

$m' = \frac{1}{m (- (m) - 1 (- c))}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (m) - 1 (- c)$ heraus.

$m' = \frac{1}{m (- (m - c))}$

Schritt 5.3.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.3.3.4.1

Schreibe $- (m - c)$ als $- 1 (m - c)$ um.

$m' = \frac{1}{m (- 1 (m - c))}$

Schritt 5.3.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$m' = - \frac{1}{m (m - c)}$

Schritt 6

Ersetze $m'$ durch $\frac{d m}{d r}$ .

$\frac{d m}{d r} = - \frac{1}{m (m - c)}$