Algebra Beispiele

${(a + (- b + c))}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(a)}^{3 - k} \cdot {(- b + c)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(a)}^{3 - 0} \cdot {(- b + c)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(a)}^{3 - 1} \cdot {(- b + c)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(a)}^{3 - 2} \cdot {(- b + c)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(a)}^{3 - 3} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- b + c)}^{0} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b + c)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(a)}^{3}$ mit $1$ .

${(a)}^{3} \cdot {(- b + c)}^{0} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b + c)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b + c)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $a^{3}$ mit $1$ .

$a^{3} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b + c)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

$a^{3} + 3 a^{2} \cdot (- b + c) + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a^{2} c + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 \cdot a \cdot {(- b + c)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.9

Schreibe ${(- b + c)}^{2}$ als $(- b + c) (- b + c)$ um.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot ((- b + c) (- b + c)) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.10

Multipliziere $(- b + c) (- b + c)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- b (- b + c) + c (- b + c)) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- b (- b) - b c + c (- b + c)) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- b (- b) - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.11.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- 1 \cdot - 1 b \cdot b - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.11.1.2

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.11.1.2.1

Bewege $b$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- 1 \cdot - 1 (b \cdot b) - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.11.1.2.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (- 1 \cdot - 1 b^{2} - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.11.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (1 b^{2} - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.11.1.4

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (b^{2} - b c + c (- b) + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.11.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (b^{2} - b c - c b + c \cdot c) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.11.1.6

Mutltipliziere $c$ mit $c$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (b^{2} - b c - c b + c^{2}) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.11.2

Subtrahiere $c b$ von $- b c$ .

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Schritt 4.11.2.1

Bewege $c$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (b^{2} - b c - b c + c^{2}) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.11.2.2

Subtrahiere $b c$ von $- b c$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a \cdot (b^{2} - 2 b c + c^{2}) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.12

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} + 3 a (- 2 b c) + 3 a c^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a (b c) + 3 a c^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere ${(a)}^{0}$ mit $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} + {(a)}^{0} \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.15

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} + 1 \cdot {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.16

Mutltipliziere ${(- b + c)}^{3}$ mit $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} + {(- b + c)}^{3}$

Schritt 4.17

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} + {(- b)}^{3} + 3 {(- b)}^{2} c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Schritt 4.18

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.18.1

Wende die Produktregel auf $- b$ an.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3} + 3 {(- b)}^{2} c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Schritt 4.18.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} - b^{3} + 3 {(- b)}^{2} c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Schritt 4.18.3

Wende die Produktregel auf $- b$ an.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} - b^{3} + 3 ({(- 1)}^{2} b^{2}) c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Schritt 4.18.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} - b^{3} + 3 (1 b^{2}) c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Schritt 4.18.5

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} - b^{3} + 3 b^{2} c + 3 (- b) c^{2} + c^{3}$

Schritt 4.18.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a^{2} c + 3 a b^{2} - 6 a b c + 3 a c^{2} - b^{3} + 3 b^{2} c - 3 b c^{2} + c^{3}$