Algebra Beispiele

$4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm \frac{27}{2}, \pm \frac{27}{4}, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$4 {(3)}^{4} - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$4 \cdot 81 - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $81$ .

$324 - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Schritt 4.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$324 - 18 \cdot 27 + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 18$ mit $27$ .

$324 - 486 + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Schritt 4.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$324 - 486 + 42 \cdot 9 - 108 \cdot 3 + 108$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $42$ mit $9$ .

$324 - 486 + 378 - 108 \cdot 3 + 108$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $- 108$ mit $3$ .

$324 - 486 + 378 - 324 + 108$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $486$ von $324$ .

$- 162 + 378 - 324 + 108$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 162$ und $378$ .

$216 - 324 + 108$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $324$ von $216$ .

$- 108 + 108$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 108$ und $108$ .

$0$

Schritt 5

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108}{x - 3}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$

	$4$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 18)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$
	$4$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$
	$4$	$- 6$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 6)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 18)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(42)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$
	$4$	$- 6$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$
	$4$	$- 6$	$24$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(24)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(72)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$
	$4$	$- 6$	$24$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 36)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 108)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(108)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$	$- 108$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$	$- 108$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{3} + - 6 x^{2} + (24) x - 36$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 36$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 36$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) - 6 x^{2} + 24 x - 36)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 24 x - 36)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $24 x$ heraus.

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (12 x) - 36)$

Schritt 7.4

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 18))$

Schritt 7.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ heraus.

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 18))$

Schritt 7.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (12 x)$ heraus.

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 18))$

Schritt 7.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 18)$ heraus.

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18))$

Schritt 8

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 3) (2 ((2 x^{3} - 3 x^{2}) + 12 x - 18))$

Schritt 8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 3) (2 (x^{2} (2 x - 3) + 6 (2 x - 3)))$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$(x - 3) (2 ((2 x - 3) (x^{2} + 6)))$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 3) (2 (2 x - 3) (x^{2} + 6))$

Schritt 10

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108$ heraus.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{4}$ heraus.

$2 (2 x^{4}) - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 18 x^{3}$ heraus.

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere $2$ aus $42 x^{2}$ heraus.

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) - 108 x + 108 = 0$

Schritt 10.1.4

Faktorisiere $2$ aus $- 108 x$ heraus.

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 108 = 0$

Schritt 10.1.5

Faktorisiere $2$ aus $108$ heraus.

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Schritt 10.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3})$ heraus.

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Schritt 10.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{4} - 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2})$ heraus.

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Schritt 10.1.8

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (- 54 x)$ heraus.

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x) + 2 (54) = 0$

Schritt 10.1.9

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x) + 2 (54)$ heraus.

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x + 54) = 0$

Schritt 10.2

Gruppiere die Terme um.

$2 (2 x^{4} - 54 x - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Schritt 10.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{4} - 54 x$ heraus.

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$2 (2 x (x^{3}) - 54 x - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 54 x$ heraus.

$2 (2 x (x^{3}) + 2 x (- 27) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{3}) + 2 x (- 27)$ heraus.

$2 (2 x (x^{3} - 27) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Schritt 10.4

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$2 (2 x (x^{3} - 3^{3}) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Schritt 10.5

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Schritt 10.6

Faktorisiere.

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Schritt 10.6.1

Vereinfache.

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Schritt 10.6.1.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Schritt 10.6.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Schritt 10.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Schritt 10.7

Faktorisiere $3$ aus $- 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54$ heraus.

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Schritt 10.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9 x^{3}$ heraus.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 21 x^{2} + 54) = 0$

Schritt 10.7.2

Faktorisiere $3$ aus $21 x^{2}$ heraus.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 54) = 0$

Schritt 10.7.3

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 3 (18)) = 0$

Schritt 10.7.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2})$ heraus.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (18)) = 0$

Schritt 10.7.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (18)$ heraus.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18)) = 0$

Schritt 10.8

Faktorisiere.

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Schritt 10.8.1

Faktorisiere $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 10.8.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 10.8.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 18, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 9, \pm 3$

Schritt 10.8.1.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 10.8.1.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$- 3 \cdot 3^{3} + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Schritt 10.8.1.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- 3 \cdot 27 + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Schritt 10.8.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $27$ .

$- 81 + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Schritt 10.8.1.3.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- 81 + 7 \cdot 9 + 18$

Schritt 10.8.1.3.5

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$- 81 + 63 + 18$

Schritt 10.8.1.3.6

Addiere $- 81$ und $63$ .

$- 18 + 18$

Schritt 10.8.1.3.7

Addiere $- 18$ und $18$ .

$0$

Schritt 10.8.1.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18}{x - 3}$

Schritt 10.8.1.5

Dividiere $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ durch $x - 3$ .

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Schritt 10.8.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$18$

Schritt 10.8.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$3 x^{2}$
	$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$

Schritt 10.8.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			-	$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

Schritt 10.8.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{3} + 9 x^{2}$

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Schritt 10.8.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Schritt 10.8.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 10.8.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 10.8.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 10.8.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} + 6 x$

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 10.8.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

Schritt 10.8.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$

Schritt 10.8.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$

Schritt 10.8.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							-	$6 x$	+	$18$

Schritt 10.8.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x + 18$

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							+	$6 x$	-	$18$

Schritt 10.8.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							+	$6 x$	-	$18$
										$0$

Schritt 10.8.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 3 x^{2} - 2 x - 6$

Schritt 10.8.1.6

Schreibe $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ als eine Menge von Faktoren.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 ((x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Schritt 10.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)) = 0$

Schritt 10.9

Faktorisiere $x - 3$ aus $2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)$ heraus.

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Schritt 10.9.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ heraus.

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)) = 0$

Schritt 10.9.2

Faktorisiere $x - 3$ aus $3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)$ heraus.

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Schritt 10.9.3

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))$ heraus.

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Schritt 10.10

Wende das Distributivgesetz an.

$2 ((x - 3) (2 x \cdot x^{2} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Schritt 10.11

Vereinfache.

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Schritt 10.11.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.11.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 ((x - 3) (2 (x^{2} x) + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Schritt 10.11.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 10.11.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 ((x - 3) (2 (x^{2} x) + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Schritt 10.11.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 ((x - 3) (2 x^{2 + 1} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Schritt 10.11.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Schritt 10.11.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Schritt 10.11.3

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x \cdot x) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Schritt 10.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.12.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.12.1.1

Bewege $x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 (x \cdot x)) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Schritt 10.12.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x^{2}) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Schritt 10.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Schritt 10.13

Wende das Distributivgesetz an.

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x + 3 (- 3 x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 6)) = 0$

Schritt 10.14

Vereinfache.

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Schritt 10.14.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 6)) = 0$

Schritt 10.14.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} - 6 x + 3 \cdot - 6)) = 0$

Schritt 10.14.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} - 6 x - 18)) = 0$

Schritt 10.15

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $6 x^{2}$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x - 6 x - 18)) = 0$

Schritt 10.16

Subtrahiere $6 x$ von $18 x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18)) = 0$

Schritt 10.17

Faktorisiere.

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Schritt 10.17.1

Faktorisiere.

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Schritt 10.17.1.1

Schreibe $2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 10.17.1.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 10.17.1.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 ((x - 3) ((2 x^{3} - 3 x^{2}) + 12 x - 18)) = 0$

Schritt 10.17.1.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 ((x - 3) (x^{2} (2 x - 3) + 6 (2 x - 3))) = 0$

Schritt 10.17.1.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$2 ((x - 3) ((2 x - 3) (x^{2} + 6))) = 0$

Schritt 10.17.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 ((x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6)) = 0$

Schritt 10.17.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

Schritt 12

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 13

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 13.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 13.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 13.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 13.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 13.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 14

Setze $x^{2} + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $x^{2} + 6$ gleich $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Schritt 14.2

Löse $x^{2} + 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 6$

Schritt 14.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Schritt 14.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Schritt 14.2.3.1

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Schritt 14.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (6)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Schritt 14.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{6}$

Schritt 14.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 14.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 14.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 14.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6) = 0$ wahr machen.

$x = 3, \frac{3}{2}, i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Schritt 16