Algebra Beispiele

$f (x) = - x^{2} + 12 x$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - x^{2} + 12 x$ als Gleichung.

$y = - x^{2} + 12 x$

Schritt 2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- x^{2} + 12 x = y$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 12$

$c = 0 = y$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = y$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{12}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 6$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$d = - 6$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 4}$

Schritt 3.4.2.1.3

Dividiere $144$ durch $- 4$ .

$e = 0 - - 36$

Schritt 3.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $0$ und $36$ .

$e = 36$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - 6)}^{2} + 36$ ein.

$- {(x - 6)}^{2} + 36 = y$

Schritt 4

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- {(x - 6)}^{2} = y - 36$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 6)}^{2} = y - 36$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 6)}^{2} = y - 36$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2}}{- 1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 36}{- 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 36}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere ${(x - 6)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 6)}^{2} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 36}{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y}{- 1}$ .

${(x - 6)}^{2} = - 1 \cdot y + \frac{- 36}{- 1}$

Schritt 5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot y$ als $- y$ um.

${(x - 6)}^{2} = - y + \frac{- 36}{- 1}$

Schritt 5.3.1.3

Dividiere $- 36$ durch $- 1$ .

${(x - 6)}^{2} = - y + 36$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

${(x - 6)}^{2} = - (y) + 36$

Schritt 6.2

Schreibe $36$ als $- 1 (- 36)$ um.

${(x - 6)}^{2} = - (y) - 1 (- 36)$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 36)$ heraus.

${(x - 6)}^{2} = - (y - 36)$