Algebra Beispiele

$f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + 9$ und $g (x) = 81 - x^{2}$ .

$(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [81 - x^{2}] + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $81 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 1.1.2.2

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} + 9) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 1.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 1.1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} + 9) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} + 9) (- (2 x)) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 1.1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 1.1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 1.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 1.1.2.9

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) (2 x + 0)$

Schritt 1.1.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) (2 x)$

Schritt 1.1.2.10.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $81 - x^{2}$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + 2 \cdot (81 - x^{2}) x$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (- 2 x) + 9 (- 2 x) + 2 (81 - x^{2}) x$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (- 2 x) + 9 (- 2 x) + (2 \cdot 81 + 2 (- x^{2})) x$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (- 2 x) + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 1.1.3.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.3.4.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.4.1.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 1.1.3.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot - 2 + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 1.1.3.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 2} \cdot - 2 + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 1.1.3.4.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{3} \cdot - 2 + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 1.1.3.4.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$- 2 \cdot x^{3} + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 1.1.3.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $9$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 1.1.3.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $81$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 1.1.3.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x - 2 x^{2} x$

Schritt 1.1.3.4.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x - 2 (x^{1} x^{2})$

Schritt 1.1.3.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x - 2 x^{1 + 2}$

Schritt 1.1.3.4.8

Addiere $1$ und $2$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x - 2 x^{3}$

Schritt 1.1.3.4.9

Addiere $- 18 x$ und $162 x$ .

$- 2 x^{3} + 144 x - 2 x^{3}$

Schritt 1.1.3.4.10

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $- 2 x^{3}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 144 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{3} + 144 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [144 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [144 x]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [144 x]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [144 x]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$- 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [144 x]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [144 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $144$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $144 x$ nach $x$ gleich $144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x^{2} + 144 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 12 x^{2} + 144 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $144$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 144$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 12 x^{2} + 144$ .

$- 12 x^{2} + 144$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 12 x^{2} + 144 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 12 x^{2} + 144 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $144$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 x^{2} = - 144$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 12 x^{2} = - 144$ durch $- 12$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 12 x^{2} = - 144$ durch $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 144}{- 12}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 12$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 144}{- 12}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 144}{- 12}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $- 144$ durch $- 12$ .

$x^{2} = 12$

Schritt 2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{12}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{12}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \pm \sqrt{4 (3)}$

Schritt 2.5.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Schritt 2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 2 \sqrt{3}$

Schritt 2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 \sqrt{3}$

Schritt 2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 \sqrt{3}$

Schritt 2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $2 \sqrt{3}$ in $f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2 \sqrt{3}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = ({(2 \sqrt{3})}^{2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$f (2 \sqrt{3}) = (2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (4 {\sqrt{3}}^{2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.2.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (2 \sqrt{3}) = (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3 + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3 + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (12 + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $12$ und $9$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2}))$

Schritt 3.1.2.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 {\sqrt{3}}^{2}))$

Schritt 3.1.2.3.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.2.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}))$

Schritt 3.1.2.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}))$

Schritt 3.1.2.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}))$

Schritt 3.1.2.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}))$

Schritt 3.1.2.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3))$

Schritt 3.1.2.3.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3))$

Schritt 3.1.2.3.4

Multipliziere $- (4 \cdot 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.3.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - 1 \cdot 12)$

Schritt 3.1.2.3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - 12)$

Schritt 3.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.2.4.1

Subtrahiere $12$ von $81$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 \cdot 69$

Schritt 3.1.2.4.2

Mutltipliziere $21$ mit $69$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 1449$

Schritt 3.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $1449$ .

$1449$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2 \sqrt{3}$ in $f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$ ermittelt werden kann, ist $(2 \sqrt{3}, 1449)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2 \sqrt{3}, 1449)$

Schritt 3.3

Ersetze $- 2 \sqrt{3}$ in $f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = ({(- 2 \sqrt{3})}^{2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{3}$ an.

$f (- 2 \sqrt{3}) = ({(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 {\sqrt{3}}^{2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.3.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3 + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3 + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (12 + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $12$ und $9$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.3.1

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{3}$ an.

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}))$

Schritt 3.3.2.3.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 {\sqrt{3}}^{2}))$

Schritt 3.3.2.3.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.3.2.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}))$

Schritt 3.3.2.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}))$

Schritt 3.3.2.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}))$

Schritt 3.3.2.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}))$

Schritt 3.3.2.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3))$

Schritt 3.3.2.3.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3))$

Schritt 3.3.2.3.4

Multipliziere $- (4 \cdot 3)$ .

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Schritt 3.3.2.3.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - 1 \cdot 12)$

Schritt 3.3.2.3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - 12)$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.4.1

Subtrahiere $12$ von $81$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 \cdot 69$

Schritt 3.3.2.4.2

Mutltipliziere $21$ mit $69$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 1449$

Schritt 3.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $1449$ .

$1449$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2 \sqrt{3}$ in $f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$ ermittelt werden kann, ist $(- 2 \sqrt{3}, 1449)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2 \sqrt{3}, 1449)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(2 \sqrt{3}, 1449), (- 2 \sqrt{3}, 1449)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 2 \sqrt{3}) \cup (- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3}) \cup (2 \sqrt{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.56410161$ .

$f'' (- 3.56410161) = - 12 {(- 3.56410161)}^{2} + 144$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3.56410161$ mit $2$ .

$f'' (- 3.56410161) = - 12 \cdot 12.70282032 + 144$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $12.70282032$ .

$f'' (- 3.56410161) = - 152.43384387 + 144$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 152.43384387$ und $144$ .

$f'' (- 3.56410161) = - 8.43384387$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 8.43384387$ .

$- 8.43384387$

Schritt 5.3

Bei $- 3.56410161$ , die zweite Ableitung ist $- 8.43384387$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 144$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 144$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 144$

Schritt 6.2.2

Addiere $0$ und $144$ .

$f'' (0) = 144$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $144$ .

$144$

Schritt 6.3

Bei $0$ ist die zweite Ableitung $144$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ .

Ansteigend im Intervall $(- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2 \sqrt{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.56410161$ .

$f'' (3.56410161) = - 12 {(3.56410161)}^{2} + 144$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $3.56410161$ mit $2$ .

$f'' (3.56410161) = - 12 \cdot 12.70282032 + 144$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $12.70282032$ .

$f'' (3.56410161) = - 152.43384387 + 144$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 152.43384387$ und $144$ .

$f'' (3.56410161) = - 8.43384387$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 8.43384387$ .

$- 8.43384387$

Schritt 7.3

Bei $3.56410161$ , die zweite Ableitung ist $- 8.43384387$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(2 \sqrt{3}, \infty)$

Abfallend im Intervall $(2 \sqrt{3}, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 2 \sqrt{3}, 1449), (2 \sqrt{3}, 1449)$ .

$(- 2 \sqrt{3}, 1449), (2 \sqrt{3}, 1449)$

Schritt 9