Algebra Beispiele

$\frac{1}{4} x^{3}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{4} y^{3}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{4} y^{3} = x$ um.

$\frac{1}{4} y^{3} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{3}) = 4 x$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $4 (\frac{1}{4} y^{3})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{3}$ .

$4 \frac{y^{3}}{4} = 4 x$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y^{3}}{4} = 4 x$

Schritt 2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 4 x$

Schritt 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{4 x}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 x}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{4} x^{3}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3}) = \sqrt[3]{4 (\frac{1}{4} x^{3})}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3}) = \sqrt[3]{\frac{4}{4} x^{3}}$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $x^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3}) = \sqrt[3]{\frac{4 x^{3}}{4}}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.5.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{4 x^{3}}{4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3}) = \sqrt[3]{\frac{4 x^{3}}{4}}$

Schritt 4.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3}) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Schritt 4.2.5.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 4.2.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\sqrt[3]{4 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot {(\sqrt[3]{4 x})}^{3}$

Schritt 4.3.3

Schreibe ${\sqrt[3]{4 x}}^{3}$ als $4 x$ um.

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Schritt 4.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 x}$ als ${(4 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot {({(4 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 4.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 4.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 x)}^{\frac{3}{3}}$

Schritt 4.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 x)}^{\frac{3}{3}}$

Schritt 4.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Schritt 4.3.3.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x))$

Schritt 4.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{4 x}) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Schritt 4.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{4 x}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{4} x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 x}$