Algebra Beispiele

$7 x y - \frac{y}{7} = \frac{2}{x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (7 x y - \frac{y}{7}) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{x})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x y - \frac{y}{7}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x y$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$7 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$7 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- \frac{1}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{y}{7}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [y]$ .

$7 (x y' + y) - \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$7 (x y' + y) - \frac{1}{7} y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (x y') + 7 y - \frac{1}{7} y'$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$7 x y' - \frac{1}{7} y' + 7 y$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $y'$ und $\frac{1}{7}$ .

$7 x y' - \frac{y'}{7} + 7 y$

Schritt 2.4.4

Um $7 x y'$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$7 x y' \cdot \frac{7}{7} - \frac{y'}{7} + 7 y$

Schritt 2.4.5

Kombiniere $7 x y'$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7 x y' \cdot 7}{7} - \frac{y'}{7} + 7 y$

Schritt 2.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 x y' \cdot 7 - y'}{7} + 7 y$

Schritt 2.4.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.7.1

Faktorisiere $y'$ aus $7 x y' \cdot 7 - y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.7.1.1

Faktorisiere $y'$ aus $7 x y' \cdot 7$ heraus.

$\frac{y' (7 x \cdot 7) - y'}{7} + 7 y$

Schritt 2.4.7.1.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$\frac{y' (7 x \cdot 7) + y' \cdot - 1}{7} + 7 y$

Schritt 2.4.7.1.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (7 x \cdot 7) + y' \cdot - 1$ heraus.

$\frac{y' (7 x \cdot 7 - 1)}{7} + 7 y$

Schritt 2.4.7.2

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$\frac{y' (49 x - 1)}{7} + 7 y$

Schritt 2.4.8

Um $7 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{y' (49 x - 1)}{7} + 7 y \cdot \frac{7}{7}$

Schritt 2.4.9

Kombiniere $7 y$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{y' (49 x - 1)}{7} + \frac{7 y \cdot 7}{7}$

Schritt 2.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y' (49 x - 1) + 7 y \cdot 7}{7}$

Schritt 2.4.11

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y' (49 x) + y' \cdot - 1 + 7 y \cdot 7}{7}$

Schritt 2.4.11.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{49 y' x + y' \cdot - 1 + 7 y \cdot 7}{7}$

Schritt 2.4.11.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y'$ .

$\frac{49 y' x - 1 \cdot y' + 7 y \cdot 7}{7}$

Schritt 2.4.11.4

Schreibe $- 1 y'$ als $- y'$ um.

$\frac{49 y' x - y' + 7 y \cdot 7}{7}$

Schritt 2.4.11.5

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$\frac{49 y' x - y' + 49 y}{7}$

Schritt 2.4.12

Stelle die Faktoren in $\frac{49 y' x - y' + 49 y}{7}$ um.

$\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7} = - \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $7$ .

$\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7} \cdot 7 = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$

Schritt 5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7} \cdot 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7} \cdot 7 = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$49 x y' - y' + 49 y = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$

Schritt 5.2.1.1.2

Bewege $x$ .

$49 y' x - y' + 49 y = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $- \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $- \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$49 y' x - y' + 49 y = - 7 \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{2}{x^{2}}$ .

$49 y' x - y' + 49 y = \frac{- 7 \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 5.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$49 y' x - y' + 49 y = \frac{- 14}{x^{2}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$49 y' x - y' + 49 y = - \frac{14}{x^{2}}$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Subtrahiere $49 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$49 y' x - y' = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $49 y' x - y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $49 y' x$ heraus.

$y' (49 x) - y' = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (49 x) + y' \cdot - 1 = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (49 x) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (49 x - 1) = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$

Schritt 5.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (49 x - 1) = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$ durch $49 x - 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (49 x - 1) = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$ durch $49 x - 1$ .

$\frac{y' (49 x - 1)}{49 x - 1} = \frac{- \frac{14}{x^{2}}}{49 x - 1} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $49 x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (49 x - 1)}{49 x - 1} = \frac{- \frac{14}{x^{2}}}{49 x - 1} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \frac{14}{x^{2}}}{49 x - 1} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = - \frac{14}{x^{2}} \cdot \frac{1}{49 x - 1} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Schritt 5.3.3.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{49 x - 1}$ mit $\frac{14}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{14}{(49 x - 1) x^{2}} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Schritt 5.3.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{14}{(49 x - 1) x^{2}} - \frac{49 y}{49 x - 1}$

Schritt 5.3.3.3.2

Um $- \frac{49 y}{49 x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{14}{(49 x - 1) x^{2}} - \frac{49 y}{49 x - 1} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{49 y}{49 x - 1}$ mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{14}{(49 x - 1) x^{2}} - \frac{49 y x^{2}}{(49 x - 1) x^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 14 - 49 y x^{2}}{(49 x - 1) x^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.5

Faktorisiere $7$ aus $- 14 - 49 y x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.3.5.1

Faktorisiere $7$ aus $- 14$ heraus.

$y' = \frac{7 (- 2) - 49 y x^{2}}{(49 x - 1) x^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.5.2

Faktorisiere $7$ aus $- 49 y x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{7 (- 2) + 7 (- 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.5.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (- 2) + 7 (- 7 y x^{2})$ heraus.

$y' = \frac{7 (- 2 - 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.6

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y' = \frac{7 (- 1 (2) - 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 y x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{7 (- 1 (2) - (7 y x^{2}))}{(49 x - 1) x^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (7 y x^{2})$ heraus.

$y' = \frac{7 (- 1 (2 + 7 y x^{2}))}{(49 x - 1) x^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.3.9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{7 (2 + 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.9.2

Stelle die Faktoren in $- \frac{7 (2 + 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$ um.

$y' = - \frac{7 (2 + 7 y x^{2})}{x^{2} (49 x - 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7 (2 + 7 y x^{2})}{x^{2} (49 x - 1)}$