Algebra Beispiele

$\sin (2 x) = 4 x + 3 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin (2 x)) = \frac{d}{d x} (4 x + 3 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 + 3 y'$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$3 y' + 4$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 \cos (2 x) = 3 y' + 4$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $3 y' + 4 = 2 \cos (2 x)$ um.

$3 y' + 4 = 2 \cos (2 x)$

Schritt 5.2

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$3 y' + 4 = 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y' = 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 4$

Schritt 5.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 4$ .

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y' = 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 4$

Schritt 5.4.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 y' = 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 4$

Schritt 5.4.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$3 y' = 2 - 4 \sin^{2} (x) - 4$

Schritt 5.4.1.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$3 y' = - 2 - 4 \sin^{2} (x)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $3 y' = - 2 - 4 \sin^{2} (x)$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' = - 2 - 4 \sin^{2} (x)$ durch $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{- 2}{3} + \frac{- 4 \sin^{2} (x)}{3}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{- 2}{3} + \frac{- 4 \sin^{2} (x)}{3}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2}{3} + \frac{- 4 \sin^{2} (x)}{3}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2}{3} + \frac{- 4 \sin^{2} (x)}{3}$

Schritt 5.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2}{3} - \frac{4 \sin^{2} (x)}{3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{3} - \frac{4 \sin^{2} (x)}{3}$