Algebra Beispiele

$5 \tan (\frac{x}{y}) = 12 x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (5 \tan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \tan (\frac{x}{y})$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{y})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{y})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$5 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$5 (\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.6

Kombiniere $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ und $5$ .

$\frac{(y - x y') \cdot 5}{y^{2}} \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Schritt 2.7

Kombiniere $\frac{(y - x y') \cdot 5}{y^{2}}$ und $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{(y - x y') \cdot 5 \sec^{2} (\frac{x}{y})}{y^{2}}$

Schritt 2.8

Bringe $5$ auf die linke Seite von $y - x y'$ .

$\frac{5 \cdot (y - x y') \sec^{2} (\frac{x}{y})}{y^{2}}$

Schritt 2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(5 y + 5 (- x y')) \sec^{2} (\frac{x}{y})}{y^{2}}$

Schritt 2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) + 5 (- x y') \sec^{2} (\frac{x}{y})}{y^{2}}$

Schritt 2.9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 x y' \sec^{2} (\frac{x}{y})}{y^{2}}$

Schritt 2.9.3.2

Stelle die Faktoren in $5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 x y' \sec^{2} (\frac{x}{y})$ um.

$\frac{5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) y'}{y^{2}}$

Schritt 2.9.4

Faktorisiere $5 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ aus $5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) y'$ heraus.

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Schritt 2.9.4.1

Faktorisiere $5 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ aus $5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ heraus.

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y) - 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) y'}{y^{2}}$

Schritt 2.9.4.2

Faktorisiere $5 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ aus $- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) y'$ heraus.

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y) + 5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y')}{y^{2}}$

Schritt 2.9.4.3

Faktorisiere $5 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ aus $5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y) + 5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y')$ heraus.

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} = 12$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = 12 y^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = 12 y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y') = 12 y^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) y + 5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y') = 12 y^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) y - 5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y') = 12 y^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Stelle die Faktoren in $5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) y - 5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y')$ um.

$5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 x y' \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2}$

Schritt 5.2.1.3.3

Bewege $x$ .

$5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2}$

Schritt 5.2.1.3.4

Stelle $5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ und $- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ um.

$- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2}$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2} - 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2} - 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ durch $- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2} - 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ durch $- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})}{x \sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})}{x \sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \sec^{2} (\frac{x}{y})}{\sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Schritt 5.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

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Schritt 5.3.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sec^{2} (\frac{x}{y})}{\sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Schritt 5.3.2.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Schritt 5.3.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 5.3.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Schritt 5.3.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Schritt 5.3.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

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Schritt 5.3.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Schritt 5.3.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{y}{x}$