Algebra Beispiele

${(5 + 5 i)}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(5)}^{4 - k} \cdot {(5 i)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(5)}^{4 - 0} \cdot {(5 i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(5)}^{4 - 1} \cdot {(5 i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(5)}^{4 - 2} \cdot {(5 i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(5)}^{4 - 3} \cdot {(5 i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(5)}^{4 - 4} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(5)}^{4} \cdot {(5 i)}^{0} + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache das Ergebnis des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere ${(5)}^{4}$ mit $1$ .

${(5)}^{4} \cdot {(5 i)}^{0} + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.2

Potenziere $5$ mit $4$ .

$625 \cdot {(5 i)}^{0} + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.3

Wende die Produktregel auf $5 i$ an.

$625 \cdot (5^{0} i^{0}) + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$625 \cdot (1 i^{0}) + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $i^{0}$ mit $1$ .

$625 \cdot i^{0} + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$625 \cdot 1 + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $625$ mit $1$ .

$625 + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.8

Potenziere $5$ mit $3$ .

$625 + 4 \cdot 125 \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $125$ .

$625 + 500 \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.10

Vereinfache.

$625 + 500 \cdot (5 i) + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.11

Mutltipliziere $5$ mit $500$ .

$625 + 2500 i + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.12

Potenziere $5$ mit $2$ .

$625 + 2500 i + 6 \cdot 25 \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.13

Mutltipliziere $6$ mit $25$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.14

Wende die Produktregel auf $5 i$ an.

$625 + 2500 i + 150 \cdot (5^{2} i^{2}) + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.15

Potenziere $5$ mit $2$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot (25 i^{2}) + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.16

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$625 + 2500 i + 150 \cdot (25 \cdot - 1) + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.17

Multipliziere $150 (25 \cdot - 1)$ .

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Schritt 4.1.17.1

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot - 25 + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.17.2

Mutltipliziere $150$ mit $- 25$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.18

Berechne den Exponenten.

$625 + 2500 i - 3750 + 4 \cdot 5 \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.19

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.20

Wende die Produktregel auf $5 i$ an.

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (5^{3} i^{3}) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.21

Potenziere $5$ mit $3$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (125 i^{3}) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.22

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (125 (i^{2} \cdot i)) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.23

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (125 (- 1 \cdot i)) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.24

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (125 (- i)) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.25

Mutltipliziere $- 1$ mit $125$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (- 125 i) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.26

Mutltipliziere $- 125$ mit $20$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.27

Mutltipliziere ${(5)}^{0}$ mit $1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.28

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 1 \cdot {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.29

Mutltipliziere ${(5 i)}^{4}$ mit $1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + {(5 i)}^{4}$

Schritt 4.1.30

Wende die Produktregel auf $5 i$ an.

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 5^{4} i^{4}$

Schritt 4.1.31

Potenziere $5$ mit $4$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625 i^{4}$

Schritt 4.1.32

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 4.1.32.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625 {(i^{2})}^{2}$

Schritt 4.1.32.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625 {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.1.32.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625 \cdot 1$

Schritt 4.1.33

Mutltipliziere $625$ mit $1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3750$ von $625$ .

$- 3125 + 2500 i - 2500 i + 625$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 3125$ und $625$ .

$- 2500 + 2500 i - 2500 i$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $2500 i$ von $2500 i$ .

$- 2500 + 0$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 2500$ und $0$ .

$- 2500$