Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ , $g (x) = x^{- 6}$

Schritt 1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (g (x))$

Schritt 2

Berechne $f (x^{- 6})$ durch Einsetzen des Wertes von $g$ in $f$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{{(x^{- 6})}^{2} + 1}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{- 6})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{x^{- 6 \cdot 2} + 1}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{x^{- 12} + 1}$

Schritt 3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1}{x^{12}} + 1}$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{1}{x^{12}} + 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1^{3}}{x^{12}} + 1}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $x^{12}$ als ${(x^{4})}^{3}$ um.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1^{3}}{{(x^{4})}^{3}} + 1}$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{1^{3}}{{(x^{4})}^{3}}$ als ${(\frac{1}{x^{4}})}^{3}$ um.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{{(\frac{1}{x^{4}})}^{3} + 1}$

Schritt 3.3.4

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{{(\frac{1}{x^{4}})}^{3} + 1^{3}}$

Schritt 3.3.5

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = \frac{1}{x^{4}}$ und $b = 1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) ({(\frac{1}{x^{4}})}^{2} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.3.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x^{4}}$ an.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1^{2}}{{(x^{4})}^{2}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 3.3.6.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{{(x^{4})}^{2}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 3.3.6.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{x^{4 \cdot 2}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 3.3.6.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 3.3.6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{4}} + 1^{2})}$

Schritt 3.3.6.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{4}} + 1)}$

Schritt 3.3.6.6

Stelle die Terme um.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

Schritt 3.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{4}}{x^{4}}) (- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

Schritt 3.6

Um $- \frac{1}{x^{4}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

Schritt 3.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x^{8}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{4}}$ mit $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{x^{4}}{x^{4} x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

Schritt 3.7.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{x^{4}}{x^{4 + 4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

Schritt 3.7.2.2

Addiere $4$ und $4$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{x^{4}}{x^{8}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{- x^{4} + 1}{x^{8}} + 1)}$

Schritt 3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{- x^{4} + 1^{2}}{x^{8}} + 1)}$

Schritt 3.9.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{- {(x^{2})}^{2} + 1^{2}}{x^{8}} + 1)}$

Schritt 3.9.3

Stelle $- {(x^{2})}^{2}$ und $1^{2}$ um.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{1^{2} - {(x^{2})}^{2}}{x^{8}} + 1)}$

Schritt 3.9.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x^{2}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{x^{8}} + 1)}$

Schritt 3.9.5

Vereinfache.

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Schritt 3.9.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{(1 + x^{2}) (1^{2} - x^{2})}{x^{8}} + 1)}$

Schritt 3.9.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{x^{8}} + 1)}$

Schritt 3.10

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{x^{8}} + \frac{x^{8}}{x^{8}})}$

Schritt 3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.12.1

Multipliziere $(1 + x^{2}) (1 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.12.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 (1 + x) + x^{2} (1 + x)) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 \cdot 1 + 1 x + x^{2} (1 + x)) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 \cdot 1 + 1 x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.12.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + 1 x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.2.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.12.2.4.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.12.2.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.2.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} + x^{2 + 1}) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.2.4.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} + x^{3}) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.3

Multipliziere $(1 + x + x^{2} + x^{3}) (1 - x)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.12.4.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x + x (- x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x \cdot x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.12.4.5.1

Bewege $x$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - (x \cdot x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.6

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{2} x + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.12.4.8.1

Bewege $x$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - (x \cdot x^{2}) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.12.4.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - (x \cdot x^{2}) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{1 + 2} + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.9

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.10

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{3} x + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.11

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.12.4.11.1

Bewege $x$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - (x \cdot x^{3}) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.11.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 3.12.4.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - (x \cdot x^{3}) + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{1 + 3} + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.4.11.3

Addiere $1$ und $3$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{4}$ .

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Schritt 3.12.5.1

Addiere $- x$ und $x$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 + 0 - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.5.2

Addiere $1$ und $0$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.5.3

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 + 0 - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.5.4

Addiere $1$ und $0$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.5.5

Addiere $- x^{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 + 0 - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 3.12.5.6

Addiere $1$ und $0$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{1 + x^{4}}{x^{4}}$ mit $\frac{1 - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}{x^{4} x^{8}}}$

Schritt 5

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}{x^{4 + 8}}}$

Schritt 5.2

Addiere $4$ und $8$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}{x^{12}}}$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (x^{- 6}) = 1 (\frac{x^{12}}{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})})$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{x^{12}}{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}$ mit $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{x^{12}}{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}$