Algebra Beispiele

$P = \frac{V^{2} R}{{(R + r)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d r} (P) = \frac{d}{d r} (\frac{V^{2} R}{{(R + r)}^{2}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $P$ nach $r$ ist $P'$ .

$P'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $V^{2} R$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{V^{2} R}{{(R + r)}^{2}}$ nach $r$ gleich $V^{2} R \frac{d}{d r} [\frac{1}{{(R + r)}^{2}}]$ .

$V^{2} R \frac{d}{d r} [\frac{1}{{(R + r)}^{2}}]$

Schritt 3.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(R + r)}^{2}}$ als ${({(R + r)}^{2})}^{- 1}$ um.

$V^{2} R \frac{d}{d r} [{({(R + r)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(R + r)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{2} R \frac{d}{d r} [{(R + r)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$V^{2} R \frac{d}{d r} [{(R + r)}^{- 2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ ist $f' (g (r)) g' (r)$ , mit $f (r) = r^{- 2}$ und $g (r) = R + r$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $R + r$ .

$V^{2} R (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d r} [R + r])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$V^{2} R (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d r} [R + r])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $R + r$ .

$V^{2} R (- 2 {(R + r)}^{- 3} \frac{d}{d r} [R + r])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $R + r$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [R] + \frac{d}{d r} [r]$ .

$V^{2} R (- 2 {(R + r)}^{- 3} (\frac{d}{d r} [R] + \frac{d}{d r} [r]))$

Schritt 3.3.2

Da $R$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $R$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$V^{2} R (- 2 {(R + r)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d r} [r]))$

Schritt 3.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d r} [r]$ .

$V^{2} R (- 2 {(R + r)}^{- 3} \frac{d}{d r} [r])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$V^{2} R (- 2 {(R + r)}^{- 3} \cdot 1)$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$V^{2} R (- 2 {(R + r)}^{- 3})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V^{2} R (- 2 \frac{1}{{(R + r)}^{3}})$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(R + r)}^{3}}$ .

$V^{2} R \frac{- 2}{{(R + r)}^{3}}$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V^{2} R (- \frac{2}{{(R + r)}^{3}})$

Schritt 3.4.2.3

Kombiniere $V^{2}$ und $\frac{2}{{(R + r)}^{3}}$ .

$R (- \frac{V^{2} \cdot 2}{{(R + r)}^{3}})$

Schritt 3.4.2.4

Kombiniere $R$ und $\frac{V^{2} \cdot 2}{{(R + r)}^{3}}$ .

$- \frac{R (V^{2} \cdot 2)}{{(R + r)}^{3}}$

Schritt 3.4.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $V^{2}$ .

$- \frac{R (2 \cdot V^{2})}{{(R + r)}^{3}}$

Schritt 3.4.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $R$ .

$- \frac{2 R V^{2}}{{(R + r)}^{3}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$P' = - \frac{2 R V^{2}}{{(R + r)}^{3}}$

Schritt 5

Ersetze $P'$ durch $\frac{d P}{d r}$ .

$\frac{d P}{d r} = - \frac{2 R V^{2}}{{(R + r)}^{3}}$