Algebra Beispiele

$y = x^{2} \sqrt{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = x^{2} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{2} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d y} [x^{2 + \frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Schritt 4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{4 + 1}{2}}]$

Schritt 4.1.5.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{5}{2}}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.7

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.8

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} x'$

Schritt 4.9

Kombiniere $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ und $x'$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2}$

Schritt 6

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2} = 1$ um.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2} = 1$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Schritt 6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kombinieren.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} x')}{5 \cdot 2} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} x')}{5 \cdot 2} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{5} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{5} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1.1.5.1

Dividiere $x^{\frac{3}{2}} x'$ durch $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} x' = \frac{2}{5} \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.5.2

Stelle die Faktoren in $x^{\frac{3}{2}} x'$ um.

$x' x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $1$ .

$x' x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{5}$

Schritt 6.4

Teile jeden Ausdruck in $x' x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{5}$ durch $x^{\frac{3}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x' x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{5}$ durch $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x' x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.4.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{\frac{2}{5}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x' = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.4.3.2

Kombinieren.

$x' = \frac{2 \cdot 1}{5 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x' = \frac{2}{5 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 7

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2}{5 x^{\frac{3}{2}}}$