Algebra Beispiele

$2 y^{2} = \frac{5 x - 3}{5 x + 3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (2 y^{2}) = \frac{d}{d y} (\frac{5 x - 3}{5 x + 3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 y)$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = 5 x - 3$ und $g (y) = 5 x + 3$ .

$\frac{(5 x + 3) \frac{d}{d y} [5 x - 3] - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{(5 x + 3) (\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $y$ gleich $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{(5 x + 3) (5 x' + \frac{d}{d y} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 x' + 0) - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Addiere $5 x'$ und $0$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 x') - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $5 x + 3$ .

$\frac{5 \cdot (5 x + 3) x' - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $y$ gleich $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.8

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (5 x' + \frac{d}{d y} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.9

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (5 x' + 0)}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.10

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.1

Addiere $5 x'$ und $0$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (5 x')}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - 5 (5 x - 3) x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(5 (5 x) + 5 \cdot 3) x' - 5 (5 x - 3) x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (5 x) x' + 5 \cdot 3 x' - 5 (5 x - 3) x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (5 x) x' + 5 \cdot 3 x' + (- 5 (5 x) - 5 \cdot - 3) x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.11.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (5 x) x' + 5 \cdot 3 x' - 5 (5 x) x' - 5 \cdot - 3 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.11.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 (5 x) x' + 5 \cdot 3 x' - 5 (5 x) x' - 5 \cdot - 3 x'$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.5.1.1

Subtrahiere $5 (5 x) x'$ von $5 (5 x) x'$ .

$\frac{5 \cdot 3 x' + 0 - 5 \cdot - 3 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.11.5.1.2

Addiere $5 \cdot 3 x'$ und $0$ .

$\frac{5 \cdot 3 x' - 5 \cdot - 3 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.11.5.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.5.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15 x' - 5 \cdot - 3 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.11.5.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 3$ .

$\frac{15 x' + 15 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.11.5.3

Addiere $15 x'$ und $15 x'$ .

$\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 y = \frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}} = 4 y$ um.

$\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}} = 4 y$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(5 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}} {(5 x + 3)}^{2} = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(5 x + 3)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}} {(5 x + 3)}^{2} = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$

Schritt 5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$30 x' = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $30 x' = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$ durch $30$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $30 x' = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$ durch $30$ .

$\frac{30 x'}{30} = \frac{4 y {(5 x + 3)}^{2}}{30}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{30 x'}{30} = \frac{4 y {(5 x + 3)}^{2}}{30}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{4 y {(5 x + 3)}^{2}}{30}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $30$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y {(5 x + 3)}^{2}$ heraus.

$x' = \frac{2 (2 y {(5 x + 3)}^{2})}{30}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$x' = \frac{2 (2 y {(5 x + 3)}^{2})}{2 (15)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{2 (2 y {(5 x + 3)}^{2})}{2 \cdot 15}$

Schritt 5.4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{2 y {(5 x + 3)}^{2}}{15}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 y {(5 x + 3)}^{2}}{15}$