Algebra Beispiele

$\sin (x) + 2 \cos (2 y) = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (\sin (x) + 2 \cos (2 y)) = \frac{d}{d y} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + 2 \cos (2 y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\sin (x)] + \frac{d}{d y} [2 \cos (2 y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (x)] + \frac{d}{d y} [2 \cos (2 y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [\sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \sin (y)$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 \cos (2 y)]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 \cos (2 y)]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x$ .

$\cos (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 \cos (2 y)]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\cos (x) x' + \frac{d}{d y} [2 \cos (2 y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 \cos (2 y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (2 y)$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [\cos (2 y)]$ .

$\cos (x) x' + 2 \frac{d}{d y} [\cos (2 y)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \cos (y)$ und $g (y) = 2 y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 y$ .

$\cos (x) x' + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d y} [2 y])$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (x) x' + 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d y} [2 y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 y$ .

$\cos (x) x' + 2 (- \sin (2 y) \frac{d}{d y} [2 y])$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\cos (x) x' + 2 (- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x) x' + 2 (- \sin (2 y) (2 \cdot 1))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (x) x' + 2 (- \sin (2 y) \cdot 2)$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\cos (x) x' + 2 (- 2 \sin (2 y))$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\cos (x) x' - 4 \sin (2 y)$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\cos (x) x' - 4 \sin (2 y) = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $\cos (x) x' - 4 \sin (2 y)$ um.

$x' \cos (x) - 4 \sin (2 y) = 0$

Schritt 5.2

Addiere $4 \sin (2 y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x' \cos (x) = 4 \sin (2 y)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x' \cos (x) = 4 \sin (2 y)$ durch $\cos (x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x' \cos (x) = 4 \sin (2 y)$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{x' \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{4 \sin (2 y)}{\cos (x)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{4 \sin (2 y)}{\cos (x)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{4 \sin (2 y)}{\cos (x)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Separiere Brüche.

$x' = \frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (2 y)}{\cos (x)}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $\frac{\sin (2 y)}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

$x' = \frac{4}{1} (\sin (2 y) \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $\sin (2 y)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$x' = \frac{4}{1} (\frac{\sin (2 y)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 5.3.3.4

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.4.1

Dividiere $\sin (2 y)$ durch $1$ .

$x' = \frac{4}{1} (\sin (2 y) \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 5.3.3.4.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$x' = \frac{4}{1} (\sin (2 y) \sec (x))$

Schritt 5.3.3.5

Dividiere $4$ durch $1$ .

$x' = 4 \sin (2 y) \sec (x)$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 4 \sin (2 y) \sec (x)$