Algebra Beispiele

$y = \ln (\frac{x^{4}}{x + 3})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x^{4}}{x + 3}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x^{4}}{x + 3}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{4}}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Schritt 3.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x^{4}}{x + 3}$ zu dividieren.

$1 \frac{x + 3}{x^{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{x + 3}{x^{4}}$ mit $1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{(x + 3) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 \cdot (x + 3) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.5.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.6.3

Mutltipliziere $\frac{x + 3}{x^{4}}$ mit $\frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{x^{4} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $x + 3$ aus $x^{4} {(x + 3)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{(x + 3) (x^{4} (x + 3))}$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{(x + 3) (x^{4} (x + 3))}$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 x + 4 \cdot 3) x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Schritt 3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Schritt 3.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Schritt 3.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.4.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Schritt 3.7.4.1.1.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 3.7.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Schritt 3.7.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Schritt 3.7.4.1.1.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Schritt 3.7.4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{4 x^{4} + 12 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Schritt 3.7.4.2

Subtrahiere $x^{4}$ von $4 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Schritt 3.7.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.7.5.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.5.1.1

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 3.7.5.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4} x^{1} + x^{4} \cdot 3}$

Schritt 3.7.5.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4 + 1} + x^{4} \cdot 3}$

Schritt 3.7.5.1.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{5} + x^{4} \cdot 3}$

Schritt 3.7.5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Schritt 3.7.6

Faktorisiere $3 x^{3}$ aus $3 x^{4} + 12 x^{3}$ heraus.

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Schritt 3.7.6.1

Faktorisiere $3 x^{3}$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$\frac{3 x^{3} (x) + 12 x^{3}}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Schritt 3.7.6.2

Faktorisiere $3 x^{3}$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (4)}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Schritt 3.7.6.3

Faktorisiere $3 x^{3}$ aus $3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (4)$ heraus.

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Schritt 3.7.7

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5} + 3 x^{4}$ heraus.

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Schritt 3.7.7.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} x + 3 x^{4}}$

Schritt 3.7.7.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Schritt 3.7.7.3

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{4} x + x^{4} \cdot 3$ heraus.

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} (x + 3)}$

Schritt 3.7.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 3.7.8.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $3 x^{3} (x + 4)$ heraus.

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{4} (x + 3)}$

Schritt 3.7.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.8.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4} (x + 3)$ heraus.

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{3} (x (x + 3))}$

Schritt 3.7.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{3} (x (x + 3))}$

Schritt 3.7.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$