Algebra Beispiele

$\frac{\sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}}{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}$ und $g (y) = \sqrt{4 x^{4} y^{8}}$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} \frac{d}{d y} [\sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}] - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 2

Schreibe $\frac{d}{d y} [\sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}]$ als $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{4}]$ um.

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Schritt 2.1

Schreibe $8 x^{6} y^{12}$ als ${(2 x^{2} y^{4})}^{3}$ um.

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} \frac{d}{d y} [\sqrt[3]{{(2 x^{2} y^{4})}^{3}}] - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{4}] - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 3

Da $2 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2} y^{4}$ nach $y$ gleich $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (2 x^{2} (4 y^{3})) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 x^{2} y^{3}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren von $8 x^{2} y^{3}$ um.

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]$ als $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{4}]$ um.

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Schritt 6.1

Schreibe $4 x^{4} y^{8}$ als ${(2 x^{2} y^{4})}^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{4}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 7

Da $2 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2} y^{4}$ nach $y$ gleich $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}])}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (2 x^{2} (4 y^{3}))}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 x^{2} y^{3})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 9.2

Stelle die Faktoren von $8 x^{2} y^{3}$ um.

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8 \sqrt{4 x^{4} y^{8}} (y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.2

Schreibe $4 x^{4} y^{8}$ als ${(2 x^{2} y^{4})}^{2}$ um.

$\frac{8 \sqrt{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}} (y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{8 (2 x^{2} y^{4}) (y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1.1.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{8 (2 (x^{2} x^{2}) y^{4}) y^{3} - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 (2 x^{2 + 2} y^{4}) y^{3} - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{8 (2 x^{4} y^{4}) y^{3} - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.5

Multipliziere $y^{4}$ mit $y^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1.1.5.1

Bewege $y^{3}$ .

$\frac{8 (2 x^{4} (y^{3} y^{4})) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 (2 x^{4} y^{3 + 4}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.5.3

Addiere $3$ und $4$ .

$\frac{8 (2 x^{4} y^{7}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{16 (x^{4} y^{7}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.7

Schreibe $8 x^{6} y^{12}$ als ${(2 x^{2} y^{4})}^{3}$ um.

$\frac{16 x^{4} y^{7} - \sqrt[3]{{(2 x^{2} y^{4})}^{3}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.8

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{2} y^{4}) (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.9

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1.1.9.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 (x^{2} x^{2}) y^{4}) (8 y^{3})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{2 + 2} y^{4}) (8 y^{3})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.9.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{4} y^{4}) (8 y^{3})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.10

Multipliziere $y^{4}$ mit $y^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1.1.10.1

Bewege $y^{3}$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{4} (y^{3} y^{4})) \cdot 8}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.10.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{4} y^{3 + 4}) \cdot 8}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.10.3

Addiere $3$ und $4$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{4} y^{7}) \cdot 8}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - 2 (x^{4} y^{7}) \cdot 8}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.1.12

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - 16 x^{4} y^{7}}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.1.2

Subtrahiere $16 x^{4} y^{7}$ von $16 x^{4} y^{7}$ .

$\frac{0}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Schritt 10.2

Vereine die Terme

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Schritt 10.2.1

Schreibe $\frac{0}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$ als $\frac{0}{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}$ um.

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Schritt 10.2.1.1

Schreibe $4 x^{4} y^{8}$ als ${(2 x^{2} y^{4})}^{2}$ um.

$\frac{0}{{\sqrt{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}}^{2}}$

Schritt 10.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}$

Schritt 10.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} y^{4}$ heraus.

$\frac{0}{{(2 (x^{2} y^{4}))}^{2}}$

Schritt 10.2.3

Wende die Produktregel auf $2 (x^{2} y^{4})$ an.

$\frac{0}{2^{2} {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Schritt 10.2.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{4 {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Schritt 10.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 10.2.5.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$\frac{4 (0)}{4 {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Schritt 10.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(x^{2} y^{4})}^{2}$ heraus.

$\frac{4 (0)}{4 ({(x^{2} y^{4})}^{2})}$

Schritt 10.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 0}{4 {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Schritt 10.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{{(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Schritt 10.3

Stelle die Terme um.

$\frac{0}{{(y^{4} x^{2})}^{2}}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.4.1

Wende die Produktregel auf $y^{4} x^{2}$ an.

$\frac{0}{{(y^{4})}^{2} {(x^{2})}^{2}}$

Schritt 10.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{4})}^{2}$ .

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Schritt 10.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{y^{4 \cdot 2} {(x^{2})}^{2}}$

Schritt 10.4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{0}{y^{8} {(x^{2})}^{2}}$

Schritt 10.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 10.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{y^{8} x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 10.4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{y^{8} x^{4}}$

Schritt 10.5

Dividiere $0$ durch $y^{8} x^{4}$ .

$0$