Algebra Beispiele

$e^{y} \sin (x) = x + x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (e^{y} \sin (x)) = \frac{d}{d y} (x + x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = \sin (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d y} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \sin (y)$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$e^{y} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$e^{y} (\cos (u) \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$e^{y} (\cos (x) \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$e^{y} \cos (x) x' + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{y} \cos (x) x' + \sin (x) e^{y}$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + x y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' + \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$x' + x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x' + x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' + x \cdot 1 + y x'$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x' + x + y x'$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$y x' + x + x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x) = y x' + x + x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x)$ um.

$x' e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) = y x' + x + x'$

Schritt 5.2

Da $x'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$y x' + x + x' = x' e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x)$

Schritt 5.3

Subtrahiere $x' e^{y} \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x' + x + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x)$

Schritt 5.4

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x' + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

Schritt 5.5

Faktorisiere $x'$ aus $y x' + x' - x' e^{y} \cos (x)$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $x'$ aus $y x'$ heraus.

$x' y + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

Schritt 5.5.2

Potenziere $x'$ mit $1$ .

$x' y + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $x'$ aus ${x'}^{1}$ heraus.

$x' y + x' \cdot 1 - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

Schritt 5.5.4

Faktorisiere $x'$ aus $- x' e^{y} \cos (x)$ heraus.

$x' (y) + x' \cdot 1 + x' (- 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

Schritt 5.5.5

Faktorisiere $x'$ aus $x' y + x' \cdot 1$ heraus.

$x' (y + 1) + x' (- 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

Schritt 5.5.6

Faktorisiere $x'$ aus $x' (y + 1) + x' (- 1 e^{y} \cos (x))$ heraus.

$x' (y + 1 - 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1 e^{y}$ als $- e^{y}$ um.

$x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

Schritt 5.7

Teile jeden Ausdruck in $x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$ durch $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$ durch $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ .

$\frac{x' (y + 1 - e^{y} \cos (x))}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Schritt 5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ .

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Schritt 5.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (y + 1 - e^{y} \cos (x))}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Schritt 5.7.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} - \frac{x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Schritt 5.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{e^{y} \sin (x) - x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{e^{y} \sin (x) - x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$