Algebra Beispiele

$y = 16^{4} \sqrt{4 x^{4} + 4}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x^{4} + 4}$ als ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = 16^{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (16^{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Potenziere $16$ mit $4$ .

$\frac{d}{d y} [65536 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Da $65536$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $65536 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $65536 \frac{d}{d y} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$65536 \frac{d}{d y} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ und $g (y) = 4 x^{4} + 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x^{4} + 4$ .

$65536 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$65536 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x^{4} + 4$ .

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$65536 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.9

Bringe ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$65536 (\frac{1}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{1}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ und $65536$ .

$\frac{65536}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

Schritt 4.11

Faktorisiere $2$ aus $65536$ heraus.

$\frac{2 \cdot 32768}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

Schritt 4.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 32768}{2 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

Schritt 4.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 32768}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

Schritt 4.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

Schritt 4.13

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{4} + 4$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [4 x^{4}] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [4 x^{4}] + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 4.13.2

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{4}$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [x^{4}]$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 4.14

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{4}$ und $g (y) = x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.14.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 4.14.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 4.14.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 (4 x^{3} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (16 (x^{3} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 4.16

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (16 x^{3} x' + \frac{d}{d y} [4])$

Schritt 4.17

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (16 x^{3} x' + 0)$

Schritt 4.18

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.18.1

Addiere $16 x^{3} x'$ und $0$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (16 x^{3} x')$

Schritt 4.18.2

Kombiniere $16$ und $\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{16 \cdot 32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (x^{3} x')$

Schritt 4.18.3

Mutltipliziere $16$ mit $32768$ .

$\frac{524288}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (x^{3} x')$

Schritt 4.18.4

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{524288}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 524288}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} x'$

Schritt 4.18.5

Kombiniere $\frac{x^{3} \cdot 524288}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x'$ .

$\frac{x^{3} \cdot 524288 x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18.6

Bringe $524288$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Löse nach $x'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ um.

$\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} = 1 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} = 1 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$524288 x^{3} x' = 1 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$524288 x^{3} x' = {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4

Teile jeden Ausdruck in $524288 x^{3} x' = {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ durch $524288 x^{3}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $524288 x^{3} x' = {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ durch $524288 x^{3}$ .

$\frac{524288 x^{3} x'}{524288 x^{3}} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $524288$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{524288 x^{3} x'}{524288 x^{3}} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

Schritt 6.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3} x'}{x^{3}} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

Schritt 6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} x'}{x^{3}} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

Schritt 6.4.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

Schritt 7

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$