Algebra Beispiele

$y^{2} - x y - 10 = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y^{2} - x y - 10) = \frac{d}{d y} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - x y - 10$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [- 10]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [- 10]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [- 10]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [x y]$ .

$2 y - \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 10]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$2 y - (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 10]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 y - (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 10]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$2 y - (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [- 10]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 y - (x + y x') + \frac{d}{d y} [- 10]$

Schritt 2.3

Da $- 10$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 10$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 y - (x + y x') + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y - x - (y x') + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2 y - x - y x'$ und $0$ .

$2 y - x - y x'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$- y x' - x + 2 y$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- y x' - x + 2 y = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y x' + 2 y = x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y x' = x - 2 y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- y x' = x - 2 y$ durch $- y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y x' = x - 2 y$ durch $- y$ .

$\frac{- y x'}{- y} = \frac{x}{- y} + \frac{- 2 y}{- y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y x'}{y} = \frac{x}{- y} + \frac{- 2 y}{- y}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x'}{y} = \frac{x}{- y} + \frac{- 2 y}{- y}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{x}{- y} + \frac{- 2 y}{- y}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2 y}{- y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2 y}{- y}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2}{- 1}$ .

$x' = - \frac{x}{y} - 1 \cdot - 2$

Schritt 5.2.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot - 2$ als $- - 2$ um.

$x' = - \frac{x}{y} - - 2$

Schritt 5.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$x' = - \frac{x}{y} + 2$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} + 2$