Algebra Beispiele

$z = w^{\frac{3}{2}} (w + c e^{w})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d w} (z) = \frac{d}{d w} (w^{\frac{3}{2}} (w + c e^{w}))$

Schritt 2

Da $z$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $z$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ gleich $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ ist mit $f (w) = w^{\frac{3}{2}}$ und $g (w) = w + c e^{w}$ .

$w^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d w} [w + c e^{w}] + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $w + c e^{w}$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [c e^{w}]$ .

$w^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [c e^{w}]) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d w} [c e^{w}]) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ gleich $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ ist mit $f (w) = c$ und $g (w) = e^{w}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c \frac{d}{d w} [e^{w}] + e^{w} \frac{d}{d w} [c]) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [a^{w}]$ gleich $a^{w} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w} + e^{w} \frac{d}{d w} [c]) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d w} [c]$ als $c'$ um.

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w} + e^{w} c') + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w} + e^{w} c') + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w} + e^{w} c') + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w} + e^{w} c') + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w} + e^{w} c') + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w} + e^{w} c') + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 3.10.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w} + e^{w} c') + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.11

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $w^{\frac{1}{2}}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w} + e^{w} c') + (w + c e^{w}) \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.12

Vereinfache.

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Schritt 3.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$w^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c') + (w + c e^{w}) \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$w^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c') + w \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.12.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.12.3.1

Mutltipliziere $w^{\frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c') + w \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.12.3.2

Kombiniere $w$ und $\frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c') + \frac{w (3 w^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.12.3.3

Potenziere $w$ mit $1$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c') + \frac{3 (w^{1} w^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.12.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c') + \frac{3 w^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.12.3.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c') + \frac{3 w^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.12.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c') + \frac{3 w^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.12.3.7

Addiere $2$ und $1$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c') + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.12.3.8

Kombiniere $\frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $c$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c') + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c}{2} e^{w}$

Schritt 3.12.3.9

Kombiniere $\frac{3 w^{\frac{1}{2}} c}{2}$ und $e^{w}$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c') + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Schritt 3.12.3.10

Um $w^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c') + w^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Schritt 3.12.3.11

Kombiniere $w^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c') + \frac{w^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Schritt 3.12.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c') + \frac{w^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Schritt 3.12.3.13

Bringe $2$ auf die linke Seite von $w^{\frac{3}{2}}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c') + \frac{2 \cdot w^{\frac{3}{2}} + 3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Schritt 3.12.3.14

Addiere $2 w^{\frac{3}{2}}$ und $3 w^{\frac{3}{2}}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c') + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Schritt 3.12.4

Stelle die Terme um.

$e^{w} w^{\frac{3}{2}} c + e^{w} w^{\frac{3}{2}} c' + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2} + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$0 = e^{w} w^{\frac{3}{2}} c + e^{w} w^{\frac{3}{2}} c' + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2} + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 5

Löse nach $c'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $e^{w} w^{\frac{3}{2}} c + e^{w} w^{\frac{3}{2}} c' + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2} + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$ um.

$e^{w} w^{\frac{3}{2}} c + e^{w} w^{\frac{3}{2}} c' + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2} + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $e^{w} w^{\frac{3}{2}} c + e^{w} w^{\frac{3}{2}} c' + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2} + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2}$ um.

$c e^{w} w^{\frac{3}{2}} + c' e^{w} w^{\frac{3}{2}} + \frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$

Schritt 5.3

Vereinfache $c e^{w} w^{\frac{3}{2}} + c' e^{w} w^{\frac{3}{2}} + \frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

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Schritt 5.3.1

Um $c e^{w} w^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$c' e^{w} w^{\frac{3}{2}} + \frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + c e^{w} w^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$

Schritt 5.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.2.1

Kombiniere $c e^{w} w^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$c' e^{w} w^{\frac{3}{2}} + \frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{c e^{w} w^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$

Schritt 5.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$c' e^{w} w^{\frac{3}{2}} + \frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{c e^{w} w^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 5 w^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $w^{\frac{3}{2}}$ aus $c e^{w} w^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 5 w^{\frac{3}{2}}$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 5.3.3.1.1

Bewege $e^{w}$ .

$c' e^{w} w^{\frac{3}{2}} + \frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{c w^{\frac{3}{2}} \cdot 2 e^{w} + 5 w^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$

Schritt 5.3.3.1.2

Bewege $w^{\frac{3}{2}}$ .

$c' e^{w} w^{\frac{3}{2}} + \frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{c \cdot 2 w^{\frac{3}{2}} e^{w} + 5 w^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$

Schritt 5.3.3.1.3

Stelle $c$ und $2$ um.

$c' e^{w} w^{\frac{3}{2}} + \frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{2 \cdot c w^{\frac{3}{2}} e^{w} + 5 w^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $w^{\frac{3}{2}}$ aus $2 \cdot c w^{\frac{3}{2}} e^{w}$ heraus.

$c' e^{w} w^{\frac{3}{2}} + \frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{w^{\frac{3}{2}} (2 \cdot c e^{w}) + 5 w^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $w^{\frac{3}{2}}$ aus $5 w^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$c' e^{w} w^{\frac{3}{2}} + \frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{w^{\frac{3}{2}} (2 \cdot c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} = 0$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $w^{\frac{3}{2}}$ aus $w^{\frac{3}{2}} (2 \cdot c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} \cdot 5$ heraus.

$c' e^{w} w^{\frac{3}{2}} + \frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{w^{\frac{3}{2}} (2 \cdot c e^{w} + 5)}{2} = 0$

$c' e^{w} w^{\frac{3}{2}} + \frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{w^{\frac{3}{2}} (2 c e^{w} + 5)}{2} = 0$

Schritt 5.3.4

Um $c' e^{w} w^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + c' e^{w} w^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{w^{\frac{3}{2}} (2 c e^{w} + 5)}{2} = 0$

Schritt 5.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.5.1

Kombiniere $c' e^{w} w^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{c' e^{w} w^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{w^{\frac{3}{2}} (2 c e^{w} + 5)}{2} = 0$

Schritt 5.3.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{c' e^{w} w^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + w^{\frac{3}{2}} (2 c e^{w} + 5)}{2} = 0$

Schritt 5.3.6

Faktorisiere $w^{\frac{3}{2}}$ aus $c' e^{w} w^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + w^{\frac{3}{2}} (2 c e^{w} + 5)$ heraus.

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Schritt 5.3.6.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 5.3.6.1.1

Bewege $e^{w}$ .

$\frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{c' w^{\frac{3}{2}} \cdot 2 e^{w} + w^{\frac{3}{2}} (2 c e^{w} + 5)}{2} = 0$

Schritt 5.3.6.1.2

Bewege $w^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{c' \cdot 2 w^{\frac{3}{2}} e^{w} + w^{\frac{3}{2}} (2 c e^{w} + 5)}{2} = 0$

Schritt 5.3.6.1.3

Stelle $c'$ und $2$ um.

$\frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{2 \cdot c' w^{\frac{3}{2}} e^{w} + w^{\frac{3}{2}} (2 c e^{w} + 5)}{2} = 0$

Schritt 5.3.6.2

Faktorisiere $w^{\frac{3}{2}}$ aus $2 \cdot c' w^{\frac{3}{2}} e^{w}$ heraus.

$\frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{w^{\frac{3}{2}} (2 \cdot c' e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (2 c e^{w} + 5)}{2} = 0$

Schritt 5.3.6.3

Faktorisiere $w^{\frac{3}{2}}$ aus $w^{\frac{3}{2}} (2 \cdot c' e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (2 c e^{w} + 5)$ heraus.

$\frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{w^{\frac{3}{2}} (2 \cdot c' e^{w} + 2 c e^{w} + 5)}{2} = 0$

$\frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}}{2} + \frac{w^{\frac{3}{2}} (2 c' e^{w} + 2 c e^{w} + 5)}{2} = 0$

Schritt 5.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w} + w^{\frac{3}{2}} (2 c' e^{w} + 2 c e^{w} + 5)}{2} = 0$

Schritt 5.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.8.1

Faktorisiere $w^{\frac{1}{2}}$ aus $3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w} + w^{\frac{3}{2}} (2 c' e^{w} + 2 c e^{w} + 5)$ heraus.

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Schritt 5.3.8.1.1

Stelle $2 c' e^{w}$ und $2 c e^{w}$ um.

$\frac{3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w} + w^{\frac{3}{2}} (2 c e^{w} + 2 c' e^{w} + 5)}{2} = 0$

Schritt 5.3.8.1.2

Faktorisiere $w^{\frac{1}{2}}$ aus $3 c w^{\frac{1}{2}} e^{w}$ heraus.

$\frac{w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} (2 c e^{w} + 2 c' e^{w} + 5)}{2} = 0$

Schritt 5.3.8.1.3

Faktorisiere $w^{\frac{1}{2}}$ aus $w^{\frac{3}{2}} (2 c e^{w} + 2 c' e^{w} + 5)$ heraus.

$\frac{w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w}) + w^{\frac{1}{2}} (w^{\frac{2}{2}} (2 c e^{w} + 2 c' e^{w} + 5))}{2} = 0$

Schritt 5.3.8.1.4

Faktorisiere $w^{\frac{1}{2}}$ aus $w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w}) + w^{\frac{1}{2}} (w^{\frac{2}{2}} (2 c e^{w} + 2 c' e^{w} + 5))$ heraus.

$\frac{w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w} + w^{\frac{2}{2}} (2 c e^{w} + 2 c' e^{w} + 5))}{2} = 0$

Schritt 5.3.8.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w} + w^{1} (2 c e^{w} + 2 c' e^{w} + 5))}{2} = 0$

Schritt 5.3.8.3

Vereinfache.

$\frac{w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w} + w (2 c e^{w} + 2 c' e^{w} + 5))}{2} = 0$

Schritt 5.3.8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w} + w (2 c e^{w}) + w (2 c' e^{w}) + w \cdot 5)}{2} = 0$

Schritt 5.3.8.5

Vereinfache.

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Schritt 5.3.8.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w} + 2 w (c e^{w}) + w (2 c' e^{w}) + w \cdot 5)}{2} = 0$

Schritt 5.3.8.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w} + 2 w (c e^{w}) + 2 w (c' e^{w}) + w \cdot 5)}{2} = 0$

Schritt 5.3.8.5.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $w$ .

$\frac{w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w} + 2 w (c e^{w}) + 2 w (c' e^{w}) + 5 \cdot w)}{2} = 0$

$\frac{w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w} + 2 w (c e^{w}) + 2 w (c' e^{w}) + 5 w)}{2} = 0$

$\frac{w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w} + 2 w c e^{w} + 2 w c' e^{w} + 5 w)}{2} = 0$

Schritt 5.4

Setze den Zähler gleich Null.

$w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w} + 2 w c e^{w} + 2 w c' e^{w} + 5 w) = 0$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung nach $c'$ auf.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w} + 2 w c e^{w} + 2 w c' e^{w} + 5 w) = 0$ durch $w^{\frac{1}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w} + 2 w c e^{w} + 2 w c' e^{w} + 5 w) = 0$ durch $w^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w} + 2 w c e^{w} + 2 w c' e^{w} + 5 w)}{w^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{w^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{w^{\frac{1}{2}} (3 c e^{w} + 2 w c e^{w} + 2 w c' e^{w} + 5 w)}{w^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{w^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.5.1.2.2

Dividiere $3 c e^{w} + 2 w c e^{w} + 2 w c' e^{w} + 5 w$ durch $1$ .

$3 c e^{w} + 2 w c e^{w} + 2 w c' e^{w} + 5 w = \frac{0}{w^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.1.3.1

Dividiere $0$ durch $w^{\frac{1}{2}}$ .

$3 c e^{w} + 2 w c e^{w} + 2 w c' e^{w} + 5 w = 0$

Schritt 5.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $c'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.2.1

Subtrahiere $3 c e^{w}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 w c e^{w} + 2 w c' e^{w} + 5 w = - 3 c e^{w}$

Schritt 5.5.2.2

Subtrahiere $2 w c e^{w}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 w c' e^{w} + 5 w = - 3 c e^{w} - 2 w c e^{w}$

Schritt 5.5.2.3

Subtrahiere $5 w$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 w c' e^{w} = - 3 c e^{w} - 2 w c e^{w} - 5 w$

Schritt 5.5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 w c' e^{w} = - 3 c e^{w} - 2 w c e^{w} - 5 w$ durch $2 w e^{w}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 w c' e^{w} = - 3 c e^{w} - 2 w c e^{w} - 5 w$ durch $2 w e^{w}$ .

$\frac{2 w c' e^{w}}{2 w e^{w}} = \frac{- 3 c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 2 w c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 w c' e^{w}}{2 w e^{w}} = \frac{- 3 c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 2 w c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{w c' e^{w}}{w e^{w}} = \frac{- 3 c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 2 w c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $w$ .

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Schritt 5.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{w c' e^{w}}{w e^{w}} = \frac{- 3 c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 2 w c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{c' e^{w}}{e^{w}} = \frac{- 3 c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 2 w c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{w}$ .

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Schritt 5.5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{c' e^{w}}{e^{w}} = \frac{- 3 c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 2 w c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.2.3.2

Dividiere $c'$ durch $1$ .

$c' = \frac{- 3 c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 2 w c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{w}$ .

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Schritt 5.5.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c' = \frac{- 3 c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 2 w c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$c' = \frac{- 3 c}{2 w} + \frac{- 2 w c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$c' = - \frac{3 c}{2 w} + \frac{- 2 w c e^{w}}{2 w e^{w}} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 w c e^{w}$ heraus.

$c' = - \frac{3 c}{2 w} + \frac{2 (- w c e^{w})}{2 w e^{w}} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 w e^{w}$ heraus.

$c' = - \frac{3 c}{2 w} + \frac{2 (- w c e^{w})}{2 (w e^{w})} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c' = - \frac{3 c}{2 w} + \frac{2 (- w c e^{w})}{2 (w e^{w})} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$c' = - \frac{3 c}{2 w} + \frac{- w c e^{w}}{w e^{w}} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $w$ .

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Schritt 5.5.3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c' = - \frac{3 c}{2 w} + \frac{- w c e^{w}}{w e^{w}} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$c' = - \frac{3 c}{2 w} + \frac{- 1 c e^{w}}{e^{w}} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{w}$ .

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Schritt 5.5.3.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c' = - \frac{3 c}{2 w} + \frac{- 1 c e^{w}}{e^{w}} + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.3.1.5.2

Dividiere $- 1 c$ durch $1$ .

$c' = - \frac{3 c}{2 w} - 1 c + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.3.1.6

Schreibe $- 1 c$ als $- c$ um.

$c' = - \frac{3 c}{2 w} - c + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $w$ .

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Schritt 5.5.3.3.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c' = - \frac{3 c}{2 w} - c + \frac{- 5 w}{2 w e^{w}}$

Schritt 5.5.3.3.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$c' = - \frac{3 c}{2 w} - c + \frac{- 5}{2 e^{w}}$

Schritt 5.5.3.3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$c' = - \frac{3 c}{2 w} - c - \frac{5}{2 e^{w}}$

Schritt 6

Ersetze $c'$ durch $\frac{d c}{d w}$ .

$\frac{d c}{d w} = - \frac{3 c}{2 w} - c - \frac{5}{2 e^{w}}$